2025/2026
Алгебры Ли и их представления
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
3, 4 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Преподаватели:
Ильин Алексей Игоревич
Язык:
английский
Кредиты:
6
Контактные часы:
72
Course Syllabus
Abstract
Структурная теория полупростых алгебр Ли и теория их представлений – один из важнейших разделов современной алгебры с массой ярких приложений в различных областях математики, математической физики и квантовой механики. Целью курса будет классификация полупростых алгебр Ли на языке схем Дынкина и построение их неприводимых представлений с помощью доминантных весов.
Course Contents
- Определение и примеры полупростых алгебр Ли, построение исключительных алгебр.
- Форма Киллинга, критерий полупросты алгебры Ли.
- Система корней полупростой алгебры Ли.
- Абстрактные системы корней, их базисы и группа Вейля.
- Классификация систем корней в терминах схем Дынкина.
- Картановские и борелевские подалгебры, их сопряжённость.
- Классификация полупростых алгебр Ли с помощью систем корней. Соотношения Серра.
- Абстрактная теория доминантных весов.
- Модули Верма и неприводимые конечномерные представления полупростых алгебр Ли.
- Классификация неприводимых конечномерных представлений. Формула Вейля. Формула Фрей- денталя.
- Если успеем: группы Шевалле как аналоги полупростых алгебр Ли над кольцами.
- Если успеем: бесконечномерные аналоги полупростых алгебр Ли, их представления.
Interim Assessment
- 2025/2026 4th moduleИтоговая оценка вычисляется по формуле 0.4*Э +0.2*К+0.2*Л+0.2*Д, где К — контрольная в середине семестра, Э — письменный экзамен, Д — домашние работы, Л — оценка за листки.
Bibliography
Recommended Core Bibliography
- Введение в теорию алгебр Ли и их представлений, Хамфрис, Дж., 2003
- Лекции о группах Шевалле, Стейнберг, Р., 1975
Recommended Additional Bibliography
- Группы и алгебры Ли : алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, Бурбаки, Н., 1976
- Группы и алгебры Ли : группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями системы корней, Бурбаки, Н., 1972
- Группы и алгебры Ли : подалгебры Картана, регулярные элементы, расщепляемые полупростые алгебры Ли, Бурбаки, Н., 1978