Группы автоморфизмов аффинных многообразий и действия аддитивной группыAutomorphism Groups of Affine Varieties and Additive Group Actions

Диссертация посвящена группам автоморфизмов аффинных алгебраических многообразий над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль и их подгруппам, порождённым однопараметрическими унипотентными подгруппами (то есть действиями аддитивной группы поля Ga). В отличие от проективного случая, где по теореме Мацусаки связная компонента группы автоморфизмов конечномерна, группа автоморфизмов Aut(X) аффинного многообразия X, как правило, бесконечномерна и наделена структурой инд-группы, введённой И.Р. Шафаревичем. Работа развивается по двум направлениям. Первое — гибкость: многообразие называется гибким, если его специальная группа автоморфизмов SAut(X), порождённая всеми Ga-действиями, действует бесконечно транзитивно на гладких точках. С помощью цилиндрических подмножеств установлена гибкость и обобщённая гибкость аффинных конусов над поверхностями дель Пеццо степеней 3–5, над некоторыми слабыми поверхностями дель Пеццо, а также над универсальными торсорами и кольцами Кокса поляризованных многообразий, покрытых гибкими картами, включая многообразия Сегре-Веронезе и ряд трёхмерных многообразий Фано с действием тора. Второе направление — структурная теория групп автоморфизмов в случае, когда орбиты SAut(X) не более чем одномерны. Для нормальных аффинных поверхностей доказана алгебраичность связной компоненты Aut(X) в случае отсутствия Ga-действий и дано полное описание групп автоморфизмов поверхностей марковского типа. В произвольной размерности получена характеризация многообразий, для которых подгруппа AAut(X), порождённая всеми связными алгебраическими подгруппами, исчерпаема, иописана структура AAut(X). Также описана связная компонента Aut°(X) в случае, когда все её элементы алгебраичны. Методы работы включают локально нильпотентные дифференцирования и инвариант Макар-Лиманова, технику инд-групп, изучение конструкций цилиндров на проективных многообразиях, кольца Кокса и универсальные торсоры, а также комбинаторно-вычислительные методы — полиэдральные разбиения конуса кривых, реализованные в SageMath.