2024/2025

Асимптотики в задачах математической физики

Статус: Маго-лего

Кто читает: Департамент прикладной математики

Когда читается: 3, 4 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Данилов Владимир Григорьевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Программа дисциплины

Аннотация

Методы анализа линейных систем развиты досконально. Но нелинейные системы, где нет обычного принципа суперпозиции, это, в общем случае, при наличии дисперсии почти непреодолимая задача для математики. Только для некоторых специальных однородных (с постоянными коэффициентами) нелинейных задач метод аналитического решения был недавно, в конце XX века, открыт и это вызвало огромный бум в математической теории. Но в присутствии неоднородности (переменных коэффициентов) и этот метод не работает. Незнание законов суперпозиции серьезно затрудняет математическое моделирование тех нелинейных процессов, в которых существенную роль играет распространение и взаимодействие волн. Таких процессов очень много, например, возникновение и перемещение границы раздела фаз “твердое вещество” – “жидкость”, динамика популяций, распространение импульсов по нервным волокнам, образование пробок в дорожном движении и т.д. Для задач такого типа, уже совсем недавно, в последние два десятилетия, был разработан метод «слабых асимптотик». Оказалось, что при наличии в нелинейной системе малых параметров удается, хоть и асимптотически по этим параметрам, но зато вполне конструктивно находить законы нелинейной суперпозиции и эффективно исследовать математические модели указанных выше и других нелинейных волновых процессов, в том числе, в неоднородных средах. Это продвигает возможности математического моделирования нелинейных систем на качественно новый уровень, а совместно с применением компьютерных расчетов создает прорыв в большом числе старых и трудных проблем, важных для развития новых технологий. В данном курсе на максимально простом уровне обсуждаются перечисленные явления, излагаются основные идеи и алгоритмы новых, конструктивных методов математического моделирования нелинейных процессов.

Цель освоения дисциплины

• освоение основных нелинейных эволюционных моделей математической физики, понятия обобщенного решения, метода характеристик и его обобщения
• знание свойств, присущие решениям нелинейных уравнений (нелинейные эффекты), метода обратной задачи рассеяния, метода слабых асимптотик (с точки зрения техники вычислений и алгебры), метода регуляризации
• умение исследовать уравнения с частными производными первого порядка, построение решения уравнения неразрывности вразрывном поле скоростей, описание распространения и взаимодействия уединенных нелинейных волн в различных задачах типа уравнений Бюргерса, Хопфа, системы фазового поля и ее аналогов; умение с помощью метода обобщенных характеристик строить решения прямой и обратной задачи Коши для параболического уравнения Колмогорова-Феллера глобально по времени.
• умение исследовать уравнения с частными производными первого порядка, построение решения уравнения неразрывности вразрывном поле скоростей, описание распространения и взаимодействия уединенных нелинейных волн в различных задачах типа уравнений Бюргерса, Хопфа, системы фазового поля и ее аналогов; умение с помощью метода обобщенных характеристик строить решения прямой и обратной задачи Коши для параболического уравнения Колмогорова-Феллера глобально по времени

Планируемые результаты обучения

• уметь строить и оценивать формализованные математические модели, оценивать данные, выявлять закономерности в них, визуализировать результаты анализа данных
• владеть математическим аппаратом анализа данных и принятия решений
• знать основные математические модели и методы анализа данных
• Владение методами построения неосциллирующих фундаментальных решений.
• Знакомство с асимптотическими методами построения глобальных решений уравнений на сетках.
• Владение методами построения слабых асимптотических решений.
• Умение применять метод характеристик для построения и анализа решений.

Содержание учебной дисциплины

• Метод ВКБ
• Глобальные неосциллирующие ВКБ-решения уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова
• "Гиперболические" и "параболические" задачи на решетках
• Слабые асимптотические решения

Элементы контроля

• Домашнее задание № 1
  Алгоритм численного решения квазилинейного уравнения первого порядка. Анализ полученных результатов.
• Домашнее задание № 2
  Алгоритм построения численного решения уравнений с частными производными второго порядка. Регуляризация гиперболических законов сохранения. Сравнительный анализ численных решений из домашних заданий 1 и 2.
• Экзамен
  Устный опрос по билетам.

Промежуточная аттестация

• 2024/2025 4th module
  0.3 * Домашнее задание № 1 + 0.3 * Домашнее задание № 2 + 0.4 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Dafermos, Constantine. Hyberbolic Conservation Laws in Continuum Physics / Constantine Dafermos. –Springer, 2005
• G. B. Whitham. (1999). Linear and Nonlinear Waves. Wiley-Interscience.
• Gel, fand, I. M., & Shilov, G. E. (2016). Generalized Functions, Volume 1 : Properties and Operations. AMS.
• V. P. Maslov, & G. A. Omel’yanov. (2018). Geometric Asymptotics for Nonlinear PDE. I. AMS.

Рекомендуемая дополнительная литература

• M. V. Karasev. (2016). Asymptotic Methods for Wave and Quantum Problems. AMS.

Авторы

• Гайдуков Роман Константинович
• Данилов Владимир Григорьевич