Элементы стохастического анализа

2024/2025

Статус: Маго-лего

Кто читает: Департамент статистики и анализа данных

Когда читается: 3, 4 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Борзых Дмитрий Александрович

Язык: русский

Кредиты: 6

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Для количественного описания процессов экономической динамики широко используется современный математический аппарат, в первую очередь, аппарат стохастического анализа. Случайные процессы являются сложным математическим объектом. Поэтому предлагается на относительно ранней стадии изучение процессов Леви, которые не только доставляют большинство используемых моделей случайных процессов, но и имеют важные особенности, присущие и более общим процессам, при относительно простом описании. Случайные процессы требуют разработку собственного исчисления – стохастического интегрирования с формулой Ито. Это – наиболее важная часть курса. В курсе предполагается познакомить слушателей со стохастическими и обратными стохастическими дифференциальными уравнениями, теоремами о представлении мартингалов и теоремой Гирсанова. Кроме того, будут рассмотрены простейшие задачи стохастического оптимального управления. Таким образом, по окончании курса слушатель сможет ориентироваться в современной литературе (более направленно, по математической экономике и финансовой математике). Не предполагается сопровождать каждый результат строгим математическим доказательством; во многих случаях мы ограничимся неформальным обсуждением доказательства.

Цель освоения дисциплины

Целью дисциплины является выработка у студентов глубокого понимания основ стохастического анализа, расширение компетенций студентов в теории случайных процессов и ее применениях в задачах математической экономики и финансовой математики.

Планируемые результаты обучения

Освоение Винеровского и Пуассоновского процессов
Освоение замены меры и теоремы Гирсанова
Освоение обратных стохастических дифференциальных уравнений
Освоение основных теорем теории мартингалов с дискретным временем
Освоение представлений мартингалов
Освоение простейших задач оптимального управления случайными процессами
Освоение процессов Леви. Формулы Леви-Хинчина
Освоение разложений Леви -Ито
Освоение случайных процессов, моментов остановки, мартингалов с дискретным временем
Освоение случайных процессов, моментов остановки, мартингалов с непрерывным временем
Освоение стохастических дифференциальных уравнений
Освоение стохастического интегрирования
Освоение устойчивых процессов
Освоение формулы Ито и не только
Освоение экспоненты Долеана

Содержание учебной дисциплины

Тема № 1. Случайные процессы, моменты остановки, мартингалы с дискретным временем.
Тема № 2. Основные теоремы теории мартингалов с дискретным временем.
Тема № 3. Простейшие задачи оптимального управления случайными процессами. Принцип динамического программирования. Задача об оптимальной остановке
Тема № 4. Случайные процессы, моменты остановки, мартингалы с непрерывным временем
Тема № 5. Процессы Леви. Формула Леви-Хинчина. Моменты и экспоненциальные моменты
Тема № 6. Винеровский и пуассоновский процессы. Составной пуассоновский процесс. Субординаторы
Тема № 7. Устойчивые процессы
Тема № 8. Разложение Леви -Ито
Тема № 9. Стохастическое интегрирование
Тема № 10. Формула Ито
Тема № 11. Стохастические дифференциальные уравнения
Тема № 12. Экспонента Долеан. Экспоненциальные процессы Леви
Тема № 13. Обратные стохастические дифференциальные уравнения
Тема № 14. Представление мартингалов
Тема № 15. Замена меры. Теорема Гирсанова

Элементы контроля

Самостоятельная работа
Самостоятельная работа
Самостоятельная работа
Самостоятельная работа
Экзамен
Экзамен

Промежуточная аттестация

2024/2025 4th module
0.25 * Самостоятельная работа + 0.25 * Самостоятельная работа + 0.5 * Экзамен

Список литературы

Авторы

Гущин Александр Александрович

Программа дисциплины