2024/2025
Научно-исследовательский семинар "Конечные кольца: арифметика многочленов и коды"
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
3, 4 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Преподаватели:
Гриценко Валерий Алексеевич
Язык:
русский
Кредиты:
3
Программа дисциплины
Аннотация
В проектном курсе планируется изучение алгебраических структур на примере задач теории кодирования над кольцами. Линейный код в обычной теории кодирования является подпространством векторного пространства над конечным полем. В контексте данного курса линейный код есть специальный модуль над конечным кольцом. Переход от полей к кольцам (например от конечного поля $Z_2$ к кольцу $Z_4$) радикально меняет инструментарий теории и позволяет иначе взглянуть на базисные алгебраические конструкции такие как модули, идеалы, локальные кольца, разложение на неприводимые и т.д. Слушатели смогут познакомиться с новыми проблемами и выбрать ознакомительные или более творческие проекты по алгебраическим вопросам теории кодирования в том числе и алгоритмической направленности. Всячески приветствуется использование в работе компьютерных средств типа PARI или Macoulay для исследования многочленов над конечными полями, кольцами вычетов и p-адическими полями.
Содержание учебной дисциплины
- Конечные кольца, примеры конечных колец, классификация конечных колец малых порядков, нильпотенты, кольца Галуа, кольцо многочленов над кольцом вычетов по модулю m.
- Простые и максимальные идеалы, нильрадикал кольца, примарные идеалы.
- Нильрадикал и группа обратимых элементов кольца многочленов над конечным кольцом. Редук- ция любого многочлена к унитарному.
- Базисные неприводимые многочлены по модулю p^n , где p простое.
- Радикал примарного идеала, операции с примарными идеалами, неприводимые многочлены и примарные идеалы в кольце многочленов над конечным кольцом.
- Подъем Гензеля и примарное разложения многочлена по модулю p^n . Подъем Гензеля многочлена над полем из двух элементов до многочлена по модулю 4.
- Теория делимости в кольце многочленов над кольцом вычетов по модулю p^n.
- Критерии неприводимости многочленов над кольцом вычетов по модулю p^n.
- Кольца Галуа. Теория делимости в кольце многочленов над кольцом Галуа.
- Конечные кольца, на которые можно обобщить теорию делимости многочленов. Реферативные проекты.
- Примитивный корень степени m из единицы над конечным полем. Разложение кругового много- члена над конечным полем.
- Изучение разложения многочлена x^m − 1 на множители по модулю p^n . Случай хорошей редукции. Индивидуальная лабораторная работа.
- Изучение разложения многочлена x^m − 1 на множители по модулю p^n . Случаи плохой и очень плохой редукции. Творческие проекты.
Промежуточная аттестация
- 2024/2025 4th module0.3*Оценка за практическую работу по курсу (письменное решение задач)+0.5*оценки за обязательную индивидуальную лабораторную работу+ 0.2*Устный коллоквиум. Если индивидуальная работа оценена в 10 баллов, то устный коллоквиум не является необходимым.
