2024/2025
Введение в римановы поверхности
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
3, 4 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Преподаватели:
Буряк Александр Юрьевич
Язык:
русский
Кредиты:
6
Программа дисциплины
Аннотация
Основы теории римановых поверхностей были заложены во второй половине XIX века. В ней сошлись передовые на тот момент разработки анализа, алгебры и еще не созданной топологии. На протяжении всего XX века теория римановых поверхностей, объединившись с теорией комплексных алгебраических кривых, не раз выходила на передний план развития математики. Она позволила объяснить многие трудности, возникающие при интегрировании различных функций, и разработать эффективные методы взятия интегралов, прояснила теорию Галуа и привела к новому пониманию арифметики, стала полигоном для теории комплексных многообразий и теории функциональных классов. В последние десятилетия века римановы поверхности оказались востребованы как один из наиболее эффективных инструментов исследования интегрируемых систем и связанных с ними моделей математической физики.
Цель освоения дисциплины
- Овладение различными характеристиками алгебраических кривых и умением вычислять эти характеристики.
Планируемые результаты обучения
- Знакомство с представлением двумерной поверхности как результатом склейки многоугольников. Знакомство с топологией проективных пространств.
- Освоение общего понятия дивизора. Умение вычислять дивизоры меромофных функций и 1-форм на алгебраической кривой.
- Освоение сопоставления двумерной поверхности алгебраическому уравнению на проективной плоскости.
- Освоение способов задания 1-форм на алгебраической кривой. Освоение методов вычисления вычетов 1-форм в полюсах.
- Освоение способов задания мероморфных функций на алгебраической кривой.
- Освоение умения находить точки Вейерштрасса на данной алгебраической кривой. Нахождение оценок на количество точек Вейерштрасса.
- Освоение умения строить каноническое отображение данной алгебраической кривой.
- Понимание формулы Римана-Роха. Умение применять формулу Римана-Роха для вычисления различных характеристик алгебраической кривой.
- Умение вычислять якобиан кривой и образ отображения Абеля на якобиане.
Содержание учебной дисциплины
- Предварительные сведения.
- Определения. Компактная риманова поверхность, ассоциированная с алгебраическим уравнением на плоскости
- Мероморфные функции на римановой поверхности
- Дифференциальные 1-формы и векторные поля на римановых поверхностях. Вычеты
- Дивизоры.
- Формула Римана–Роха и её приложения
- Канонические кривые.
- Точки Вейерштрасса
- Теорема Абеля
Промежуточная аттестация
- 2024/2025 4th moduleДомашние задания 2, первая контрольная 2, вторая контрольная 2, экзамен 5. Если суммарная оценка превышает 10, до результат уменьшается до 10.
