Научно-исследовательский семинар "Теория пересечений и характеристические классы 2"

2024/2025

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 3, 4 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Казарян Максим Эдуардович, Ландо Сергей Константинович

Язык: русский

Кредиты: 3

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Векторные расслоения - семейства векторных пространств, параметризованных точками некоторого многообразия. Характеристические классы перерабатывают информацию о глобальной структуре векторного расслоения в форме когомологических классов. Характеристические классы являются эффективным и красивым инструментом, возникающим в алгебраической топологии, алгебраической геометрии, арифметической геометрии, дифференциальной геометрии и даже математической физике. Характеристические классы позволяют не только различать неизоморфные расслоения, но и позволяют решать большое количество перечислительных задач проективной комплексной геометрии. Курс является продолжением курса по алгебраической топологии с приложениями в алгебраической и арифметической геометриях

Цель освоения дисциплины

Цель курса состоит в понимании понятия характеристического класса в разных математических дисциплинах, связь различных определений характеристических классов и знакомство с различными способами вычисления классов Черна комплексных расслоений

Планируемые результаты обучения

Освоение методики принципа локализации. Умение находить все члены, входящие в формулу, умение суммирования полученных выражений в замкнутом виде
Освоение основных определений классов Черна. Умение доказывать эквивалентность этих определений. Умение вычислять классы Черна для конкретных расслоений
Освоение понятия локально тривиального расслоения, G-расслоения и характеристического класса
Освоение техники решения задач исчислительной проективной геометрии путем сведения к исчислению Шуберта
Умение вычислять характеристические числа конкретных проективных многообразий: проективных пространств, их произведений, а также гиперповерхностей в них
Умение вычислять эквивариантный интеграл для простейших действий торов на компактных многообразиях
Умение переходить от базиса из мономов Черна к базису циклов Шуберта и обратно. Умение раскладывать произведение циклов Шуберта по базису циклов Шуберта
Умение построения классифицирующего пространства для простейших групп: Z_2, Z_n, Z, S_3, а также S^1
Умение применять формулу локализации для вычисления гомоморфизма Гизина в конкретных ситуациях

Содержание учебной дисциплины

Понятие характеристического класса расслоения
Классифицирующее пространство для G-расслоений
Классы Черна комплексных векторных расслоений
Исчисление Шуберта
Комплексные кобордизмы и характер Черна-Дольда
Эквивариантное интегрирование
Формулы локализации Атьи-Ботта.
Приложения формулы локализации
Применение исчисления Шуберта для решения исчислительных задач проективной геометрии

Элементы контроля

Активность
Доклад

Промежуточная аттестация

2024/2025 4th module
Вычисляется по формуле 10∗𝐼, где 𝐼 - коэффициент вовлеченности студента в работу семинара. Основным показателем вовлеченности в работу семинара является подготовленный доклад. В качестве альтернативы полноценному докладу можно рассмотреть краткое сообщение на семинаре, написанное эссе по теме непрочитанного доклада, подготовленные слайды и т.п.

Список литературы

Авторы

Казарян Максим Эдуардович
Хорошкин Антон Сергеевич
Иконописцева Юлия Вахтанговна

Программа дисциплины