2024/2025

Научно-исследовательский семинар "Функциональный интеграл: Стохастические процессы и основы квантовой механики"

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 1, 2 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Семенов Андрей Георгиевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Программа дисциплины

Аннотация

Одним из мощнейших методов современной теоретической физики является метод функционального интегрирования или, интегрирования по траекториям. Основы данного подхода были заложены Н. Винером ещё в начале XX века, однако наибольшую известность он получил после того, как Р. Фейнман применил данный подход в квантовой механике. В настоящее время функциональный интеграл нашел своё применение в теории случайных процессов, физике полимеров, квантовой и статистической механике и даже в финансовой математике. Несмотря на то, что в ряде случаев его применимость математически строго пока не доказана, данный метод позволяет с удивительным изяществом получать точные и приближённые решения различных интересных задач. Курс посвящён основам данного подхода. На примере стохастических дифференциальных уравнений будут рассказаны основные идеи данного подхода, а так же различные способы точного и приближённого вычисления функциональных интегралов. Далее, в зависимости от интересов аудитории, будет рассказано о различных применениях данного подхода, таких как физика полимеров, квантовая механика, финансовая математика и др. При наличии времени будет дан обзор более продвинутых сюжетов в данной области, в том числе, интегрирование по грассмановым переменным, вычисление функциональных детерминантов операторов и др.

Цель освоения дисциплины

• -

Планируемые результаты обучения

• На примере стохастических дифференциальных уравнений слушатели узнают основные идеи данного подхода, а также различные способы точного и приближённого вычисления функциональных интегралов, о различных применениях данного подхода, таких как физика полимеров, квантовая механика, финансовая математика и др.

Содержание учебной дисциплины

• Стохастические дифференциальные уравнения и случайные процессы
• Производящий функционал. Марковский и Гауссов случайные процессы
• Вероятность перехода и ее представление в виде функционального интеграла
• Вычисление простейших функциональных интегралов
• Броуновское движение и Винеровский интеграл
• Связь с уравнением Фоккера – Планка, исчислениями Ито и Стратоновича
• Гауссовы функциональные интегралы и теорема Гельфанда – Яглома
• Приближенное вычисление функционального интеграла
• Применение функционального интеграла в квантовой механике, физике полимеров и финансовой математике
• Дальнейшее развитие идей

Элементы контроля

• Домашние КР
• Экзамен

Промежуточная аттестация

• 2024/2025 2nd module
  Итоговая оценка равна 0.7𝐻+0.3𝐸, где 𝐻 - средняя оценка по всем домашним контрольным в семестре, а 𝐸 - оценка за экзамен. Округление в меньшую сторону, но на экзамене есть возможность для повышения оценки путём обсуждения и решения задач.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Вайнберг, С. Квантовая теория поля / С. Вайнберг , под редакцией В. Ч. Жуковского , перевод с английского В. Ч. Жуковского. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, [б. г.]. — Том 1 : Общая теория — 2015. — 648 с. — ISBN 978-5-9221-1620-6. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/91164 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Рекомендуемая дополнительная литература

• Насыров, Ф. С. Локальные времена, симметричные интегралы и стохастический анализ : учебное пособие / Ф. С. Насыров. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2011. — 212 с. — ISBN 978-5-9221-1337-3. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/59749 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Авторы

• Семенов Андрей Георгиевич
• Иконописцева Юлия Вахтанговна