Научно-исследовательский семинар "Теория кодирования как введение в алгебру и арифметику"

2024/2025

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 1, 2 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Гриценко Валерий Алексеевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Теория кодирование возникла в 50-е годы XX века. Первые ее задачи состояли в изучении линейного векторного пространства над простейшим полем из двух элементов как метрического пространства. Для построения подпространств с очень специальными метрическими свойствами -- кодов -- используются различные алгебраические и геометрические методы. Задачи теория кодирования, совершенно естественные по формулировкам, дают новую базу для изучения важнейших алгебраических и геометрических структур. Например, структура корней многочленов над конечными полями (один из основных вопросов теории Галуа) отвечает за существование эффективных циклических кодов. Двойственность линейных пространств сводится к парам двойственных кодов. Геометрические структуры (конечные проективные пространства, лагранжианы бинарного и тернарного векторных пространств) отвечают за автодуальные и совершенные коды. Группы автоморфизмов кодов -- это основные конечные простые группы. Цель нашего курса в том, чтобы освоить основные алгебраические конструкции (поля, кольца, модули, фактор-кольца) на примере внешних для алгебры задач теории кодирования.

Цель освоения дисциплины

Планируемые результаты обучения

Слушатели познакомятся с системами корней и их группами Вейля, решетками Нимейера и Лича, дискретным преобразованием Фурье, числами Кэли, матрицами Адамара.

Содержание учебной дисциплины

Линейные коды и и их дуальные коды как объекты линейной алгебры над конечными полями. Метрика Хэмминга. Соотношения ортогональности.
Конечная проективная плоскость Фано и совершенный код Хэмминга. Группа автоморфизмов кода Хэмминга.
Целочисленные решетки An и Dn и их системы корней. Группа Вейля системы корней. Код Хэмминга и четная унимодулярная решетка E8.
Целочисленные решетки и их конечные дискриминантные группы. Расширения четных целочисленных решеток. Унимодулярные решетки ранга 16 и 24 (решетки Нимейера).
Плотные упаковки евклидова пространства шарами.
Код Голлея и решетка Лича. Совершенные коды.
Конечные поля и неприводимые многочлены на конечными полями. Введение в теорию Галуа конечных полей, автоморфизм Фробениуса. Неприводимые многочлены над конечным полем. Идеалы и циклические коды.
Преобразование Фурье на единичном кубе. Коды и теория инвариантов.

Элементы контроля

ЛР
ДЗ
Колллоквиум

Промежуточная аттестация

2024/2025 2nd module
0.5*Индивидуальная лабораторная работа + 0.3*Индивидуальное письменное решение дополнительных задач + 0.2*Устный коллоквиум. Если индивидуальная работа оценена в 10 баллов, то устный коллоквиум не является необходимым.

Список литературы

Авторы

Иконописцева Юлия Вахтанговна
Гриценко Валерий Алексеевич

Программа дисциплины