2024/2025
Элементы стохастической динамики
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
3, 4 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Преподаватели:
Ильин Антон Сергеевич
Язык:
русский
Кредиты:
6
Программа дисциплины
Аннотация
Стохастические динамические системы возникают в самых разных областях — от теоретической физики и астрофизики до экономики и финансовой математики. Изложение будет вестись на относительно элементарном языке корреляционных функций и их производящих функционалов, что позволит в дальнейшем плавно перейти к изучению технически более сложных конструкций квантовой теории поля, статистической физики, финансовой математики и пр. Мы начинём с обсуждения непрерывных случайных величин, плотности вероятности, статистических моментов, характеристических функций и связных моментов (куммулянтов) случайных векторов, которые позволяют легко и изящно изложить закон больших чисел, ЦПТ и принципы больших отклонений, а также будут использоваться в дальнейшем на курсах квантовой теории поля и статистической физики. Случайная функция (случайный процесс, случайное поле) вводится как естественное обобщение случайного вектора на бесконечномерный случай. Изложение также ведется на языке корреляционных функций и куммулянтов. Мы обсудим корреляционное время, корреляционный масштаб, дельта-процессы, Пуассоновский и Гауссовский случайные процессы, теорему Вика, принципы расщепления корреляций, закон больших чисел и ЦПТ для случайных процессов с конечным корреляционным временем. Далее рассматриваются простейшие линейные стохастические дифференциальные уравнения с аддитивным шумом (диффузия) и мультипликативным шумом (системы с перемежаемостью). Такие уравнения встречаются во многих областях теоретической физики, экономики и финансовой математики, и составляют базу для интуитивного понимания процессов в более сложных нелинейных стохастических системах. В качестве интересного примера, обсуждается парадоксальное поведение статистических моментов в системах с мультипликативным шумом и поясняется значение редких «катастрофических» событий для жизни таких систем. В заключении курса рассматривается технически довольно сложная, но чрезвычайно красивая теория континуальных произведений случайных матриц. Эти произведения естественным образом возникают при решении линейных матричных стохастических уравнений с мультипликативным шумом и используются в теории турбулентного транспорта, гидродинамике, экономике и разных других областях.
Цель освоения дисциплины
- Освоение основных инструментов стохастической динамики с возможностью дальнейшего применения в самых различных областях прикладной науки, таких как квантовая теория поля или статистическая физика.
Планируемые результаты обучения
- Слушатели познакомятся с основными идеями и понятиями этой стохастических динамических систем а также освоят минимальный набор инструментов для решения конкретных задач
Содержание учебной дисциплины
- Случайные векторы, моменты, куммулянты, производящие функции.
- Гауссовы случайные векторы.
- Закон больших чисел, центральная предельная теорема, принцип больших отклонений.
- Негауссовы случайные векторы, теорема Марцинкевича.
- Случайные процессы и поля, Корреляционные функции, Связные Корреляционные Функции, Производящие функционалы.
- Одноточечная и двухточечная статистика, корреляционное время. Дельта процессы. Пуассоновский процесс.
- Гауссовы случайные процессы и поля, теорема Вика.
- Закон больших чисел, центральная предельная теорема, принцип больших отклонений для случайных процессов.
- Стохастические дифференциальные уравнения. Мультипликативный и аддитивный шум. Диффузия. Перемежаемость. Уравнение Ланжевена
- . Дискретные и континуальные произведения случайных матриц. Индексы Ляпунова. Матричные стохастические уравнения с мультипликативным шумом.
Промежуточная аттестация
- 2024/2025 4th moduleИтоговая оценка вычисляется по формуле min(10, ⌈𝑆+𝐶+𝐸⌉), где ⌈⌉ означает округление вверх, а вещественные числа 𝑆, 𝐶, 𝐸 ∈ [0, 5] суть оценки за сдачу листков, за самостоятельные работы на семинарах (проводимые раз в несколько занятий), и за итоговый устный экзамен. Если перед экзаменом min(10, ⌈𝑆 + 𝐶⌉) ≥ 8, то эта оценка по желанию студента выставляется в качестве итоговой без экзамена.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Nielsen, S. R. K., & Zhang, Z. (2017). Stochastic Dynamics. Aarhus, Denmark: Aarhus University Press. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=1809724
Рекомендуемая дополнительная литература
- Ichiro Shigekawa. (2018). Stochastic Analysis. [N.p.]: AMS. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=1790352