2024/2025

Введение в функциональный анализ

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 1, 2 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Шапошников Станислав Валерьевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Программа дисциплины

Аннотация

Курс функционального анализа посвящен широкому кругу идей и методов современной математики. В курсе будут рассмотрены метрические и нормированные пространства, понятие полноты и теорема Бэра, компактные пространства и их свойства, линейные функционалы и отделимость выпуклых множеств, линейные операторы, элементы спектральной теории.

Цель освоения дисциплины

• -

Планируемые результаты обучения

• --

Содержание учебной дисциплины

• Операторы Фредгольма. Индекс оператора и его свойства
• Самосопряженные операторы. Непрерывные функции от самосопряженного оператора
• Унитарная эквивалентность самосопряженного оператора оператору умножения на функцию
• Проекторы и проекторнозначные меры. Представление самосопряженного оператора в виде интеграла по проекторнозначной мере
• Полинормированные пространства. Метризуемость и нормируемость топологии таких пространств. Линейные непрерывные функционалы
• Пространства 𝒟 и 𝒮 и сходимость в них. Пространства обобщенных функций
• Обобщенная производная. Свёртка интегрируемых и обобщенных функций. Фундаментальное решение дифференциального оператора
• Преобразование Фурье функций из 𝒮. Преобразование Фурье функций из 𝐿2(ℝ). Спектр преобразования Фурье.
• Преобразование Фурье обобщенных функций. Существование фундаментального решения. Гипо- эллиптичность.
• Пространства Соболева. Описание через преобразование Фурье. Теоремы вложения
• Неограниченные операторы. Полугруппа операторов. Теорема Стоуна. Теорема Хилле – Иосиды
• Банаховы алгебры.

Элементы контроля

• Активность
• Задачи
• Экзамен

Промежуточная аттестация

• 2024/2025 2nd module
  Курс включает лекции и семинары. На семинарах выдаются листки с задачами, часть из которых разбирается на семинаре, а часть является домашним заданием. Оценка за курс складывается из оценки за экзамен и накопленной оценки по формуле 0.5*(Накопленная оценка)+0.5*(Экзамен), а накопленная оценка складывается из оценки за выполнение домашних заданий и оценки за работу на семинаре по формуле 0.6*(домашнее задание)+0.4*(работа на семинарах). Все формы контроля оцениваются от 0 до 10 баллов.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Задачи по функциональному анализу, Бородин, П. А., 2017
• Теоремы и задачи функционального анализа : учеб. пособие для вузов, Кириллов, А. А., 1979
• Элементы теории функций и функционального анализа, [учебник], 7-е изд., 570 с., Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В., 2017

Рекомендуемая дополнительная литература

• Лекции по функциональному анализу, Хелемский, А. Я., 2004

Авторы

• Иконописцева Юлия Вахтанговна
• Шапошников Станислав Валерьевич