Бакалавриат 2024/2025

Функциональный анализ

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика и информатика)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 2-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Язык: русский

Кредиты: 6

Программа дисциплины

Аннотация

Функциональный анализ широко применяется во многих областях математики, включая дифференциальные и интегральные уравнения, теорию вероятностей, математическую физику и пр. На курсе будут изложены основы функционального анализа, а, точнее говоря, теории нормированных пространств. Помимо стандартного набора тем, присутствующего в подавляющем большинстве курсов функционального анализа, будет изложена теория полугрупп операторов с применениями к эволюционным дифференциальным уравнениям и случайным процессам.

Цель освоения дисциплины

• Уметь определять свойства линейных операторов, в т.ч. ограниченность, замкнутость, симметричность.
• Уметь применять методы теории Фредгольма к интегральным уравнениям
• Уметь применять методы теории полугрупп к дифференциальным уравнениям

Планируемые результаты обучения

• Введение в спектральную теорию операторов: вопросы разрешимости абстрактных уравнений, допускающих линейное толкования, вопросы устойчивости и аппроксимации решений.
• Непрерывные операторы и функционалы в локально-выпуклых (полинормированных) пространствах. Введение в теорию обобщенных функций.
• Преобразование Фурье и свертка в нормированных и полинормированных пространствах. Приложения к обработке изображений и звука.
• Абстрактный подход к теории самосопряженных операторов.
• Знать основы теории метрических пространств
• Знать основы теории нормированных пространств
• Уметь применять методы функционального анализа в практических задачах

Содержание учебной дисциплины

• Метрические и нормированные пространства. Базовые понятия.
• Полнота и компактность.
• Всюду плотность и сепарабельность. Теорема Стоуна-Вейерштрасса.
• Приложения теории полугрупп.
• Восстановление полугруппы по генератору, теоремы Хилле-Иосиды-Филлипса.
• Полугруппы операторов, примеры и свойства. Генератор полугруппы.
• Спектр и резольвента неограниченного оператора. Критерий самосопряженности.
• Неограниченные операторы, примеры. Замкнутость, симметричность, самосопряженность.
• Сингулярное разложение компактных операторов в гильбертовом пространстве.
• Сопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Спектр и собственные значения. Теорема Гильберта-Шмидта.
• Теория фредгольмовых операторов и индекс.
• Свертка и преобразование Фурье.
• Элементы теории меры и интеграла. Мера Лебега на прямой и окружности.
• Элементарные свойства гильбертовых пространств. Теорема Рисса. Гильбертовы пространства с воспроизводящим ядром.
• Линейные функционалы. Конечномерные нормированные пространства. Теорема Хана-Банаха.
• Теоремы об обратном оператора и о замкнутом графике.
• Непрерывные (ограниченные) линейные операторы. Теоремы Бэра и Банаха-Штейнгауза.
• Компактные операторы. Свойства компактных операторов.

Элементы контроля

• Домашнее задание 1
  Содержит 10 задач, каждая из которых может быть оценена до 1 балла. Максимум 10 баллов. Выдается после 3-й лекции.
• Домашнее задание 2
  Содержит 10 задач, каждая из которых может быть оценена до 1 балла. Максимум 10 баллов. Выдается после 6-й лекции.
• Домашнее задание 3
  Содержит 10 задач, каждая из которых может быть оценена до 1 балла. Максимум 10 баллов. Выдается после 9-й лекции.
• Домашнее задание 4
  Содержит 10 задач, каждая из которых может быть оценена до 1 балла. Максимум 10 баллов. Выдается после 11-й лекции.
• Домашнее задание 5
  Содержит 10 задач, каждая из которых может быть оценена до 1 балла. Максимум 10 баллов. Выдается после 13-й лекции.
• Домашнее задание 6
  Содержит 10 задач, каждая из которых может быть оценена до 1 балла. Максимум 10 баллов. Выдается после 15-й лекции.
• Домашнее задание 7
  Содержит 10 задач, каждая из которых может быть оценена до 1 балла. Максимум 10 баллов. Выдается после 18-й лекции.
• Контрольная работа
  Содержит 5 коротких теоретических вопросов (формулировки теорем/определения) и 5 задач. Каждый пункт оценивается до 1 балла. Максимум 10 баллов. Проводится после лекции №13.
• Экзамен
  Экзамен проводится письменно. Содержит 1 развернутый теоретический вопрос, 3 коротких теоретических вопроса и 3 задачи. Короткие теоретические вопросы и задачи оцениваются до 1 балла, а развернутый теоретический вопрос до 4 баллов. Максимум 10 баллов. Проводится после последней лекции. Семинары в день экзамена могут быть использованы для проверки и апелляций.

Промежуточная аттестация

• 2024/2025 4th module
  Итог = Минимум(10, Округление(0.5 * ДЗ + 0.3 * КР + 0.3 * Э)), где КР - оценка за контрольную работу ДЗ - средняя оценка за домашние задания Э - оценка за экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Хелемский, A. Я. Лекции по функциональному анализу : учебник / A. Я. Хелемский. — 2-е изд. — Москва : МЦНМО, 2014. — 560 с. — ISBN 978-5-4439-2043-6. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/56415 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Рекомендуемая дополнительная литература

• Гисин, В. Б. Функциональный анализ : учебное пособие / В. Б. Гисин, П. И. Кацыло, Е. В. Маевский. — Москва : Финансовый университет, 2014. — 220 с. — ISBN 978-5-7942-1128-3. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/152027 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Авторы

• Смирнов Матвей Станиславович
• Самоненко Илья Юрьевич