Бакалавриат 2024/2025

Комплексный анализ

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика и информатика)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 2-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Владыкина Вероника Евгеньевна

Язык: русский

Кредиты: 6

Программа дисциплины

Аннотация

Комплексный анализ посвящен изучению свойств функций комплексного переменного. Оказывается, что в отличии от функции действительного переменного, которые даже обладая довольно «хорошими» свойствами вроде дифференцируемости, могут все же вести себя довольно «плохо», для функций комплексного переменного условие дифференцируемости в некоторой окрестности оказывается довольно жестким и влечет множество приятных последствий вроде бесконечной дифференцируемости и разложения в степенной ряд. Кроме того, комплексный анализ предлагает очень простые способы вычисления несобственных интегралов, для нахождения которых в курсе математического анализа приходилось прибегать к нетривиальным трюкам вроде изучения равномерной сходимости и дифференцирования по параметру. Инструменты комплексного анализа широко применяются при решении задач математической физики и механики.

Цель освоения дисциплины

• Ознакомление студентов с основными понятиями и методами теории функций комплексного переменного и ее приложений.
• 1. Владеть арифметическими операциями над комплексными числами, уметь вычислять простейшие функции от комплексного числа.
• 2.Уметь проверять функцию на C-дифференцируемость и голоморфность. Восстанавливать голоморфную функцию по ее действительной части.
• 3. Находить образ заданной области под действием конформного отображения. Строить конформное отображение, обладающее заданными свойствами.
• 4. Вычислять интеграл вдоль пути явно с помощью параметризации пути и с помощью теоремы Ньютона-Лейбница
• 5. Вычислять интеграл по замкнутому контуру с помощью теории вычетов
• 6. Вычислять несобственные интегралы с помощью теории вычетов

Планируемые результаты обучения

• Раскладывать голоморфную функцию в ряд Лорана.
• Использовать теорему Руше для нахождения числа нулей функции в области.
• Владение теорией голоморфных функций: связь между интегральной теоремой Коши, голоморфностью в области и разложением ряд Тейлора.
• Владение теорией вычетов: классификация изолированных особых точек, разложение функции в ряд Лорана, связь между этими понятиями.
• Представление о геометрических принципах для голоморфных функций: сохранение области, принцип максимума, теорема Римана.

Содержание учебной дисциплины

• Поле комплексных чисел. Арифметические операции. Полярный вид числа. Стереографическая проекция. Метрика на C. Расширенная комплексная плоскость.
• Путь, кривая, область на плоскости. Функция комплексной переменной. Построение комплексной экспоненты. R-дифференцируемость и C-дифференцируемость. Условие Коши-Римана. Голоморфность в точке и в области.
• Конформные отображения. Свойства конформных отображений. Геометрический смысл дифференциала. Линейные отображения. Дробно-линейные отображения (ДЛО): конформность, групповое свойство, разложение в композицию элементарных отображений
• ДЛО: круговое свойство, свойство симметрии, правило трех точек, автоморфизмы единичного круга
• Интеграл вдоль пути и его свойства. Лемма Гурса.
• Первообразная в области. Теорема о существование первообразной в круге. Первообразная вдоль пути. Существование первообразной вдоль пути. Теорема Ньютона-Лейбница
• Гомотопные пути. Теорема о монодромии. Существование первообразной в односвязной области.
• Интегральная теорема Коши для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши (ИФК). Теорема о среднем.
• Разложение голоморфной функции в ряд Тейлора. Неравенства Коши. Теорема Лиувилля. Формула Коши-Адамара. Голоморфность суммы степенного ряда. Бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда. ИФК для производных.
• Теорема Мореры. Три эквивалентных определения голоморфной функции. Связь голоморфных и гармонических функций.
• Порядок нуля голоморфной функции. Теорема единственности. Теорема Вейерштрасса. Теорема Рунге.
• Ряд Лорана для функции, голоморфной в кольце. Теорема о сходимости ряда Лорана. Неравенства Коши.
• Изолированные особые точки (ИОТ) и их связь с рядом Лорана. Теорема Сохоцкого. Большая теорема Пикара.
• Целые функции, мероморфные функции. Малая теорема Пикара.
• Вычеты. Теорема Коши о вычетах. Лемма Жордана.
• Логарифмический вычет. Его связь с количеством нулей и полюсов функции в области. Ln z и Arg z как непрерывные функции вдоль пути. Принцип аргумента. Теорема Руше.
• Геометрические принципы: принцип сохранения области, критерий локальной однолистности, принцип максимума модуля.
• Лемма Шварца. Автоморфизмы единичного круга. Теорема Римана.

Элементы контроля

• Домашнее задание
  Домашнее задание дается после каждого семинара (всего планируется 15 домашних заданий). В каждом домашнем задании указывается балл, который нужно набрать, относительно этого балла идет нормировка балла за ДЗ, задач в дз, как правило, с запасом (например в дз задач на 12 баллов, но сказано, что нужно набрать 10, тогда балл за это дз будет рассчитан как MIN(N/10;1)). Вклад домашних заданий в итоговую форму считается как ДЗ=10 Min (SUM/12, 1), где SUM - сумма баллов за все задания. Для домашнего задания есть два типа деллайна - жесткий и мягкий. Если работа прислана до мягкого дедлайна, то до наступления жесткого дедлайна студент получит по нему фидбек и будет иметь возможность исправить ошибки до жесткого дедлайна. Работы, отправленные между мягким и жестким дедлайном будут проверены после дедлайна и не допускают правок для повышения балла.
• Самостоятельная работа
  На лекциях в начале пары проводится самостоятельная работа на 5-7 минут, в которой нужно дать определение и формулировку из предыдущей лекции и ответить на простой теоретический вопрос. Каждая работа может быть оценена на 0, 0,5 или 1 балл. Суммарно будет проведено 10 самостоятельных. На лекции перед самостоятельной работой сообщается, что в следующий раз будет самостоятельная.
• Контрольная работа
  Будет проведено две контрольных работы (первая по семинарам 1-9, вторая по семинарам 12-18), каждая из которых будет оцениваться в 10 баллов. Работа проходит письменно и длится 90 минут.
• Коллоквиум
  Проходит письменно, длится 2 часа. Содержит в себе вопросы по определениям и формулировкам, доказательство теоремы и два теоретических вопроса (простого и повышенного уровня), демонстрирующих уровень владения теоретическим материалом. Во время подготовки ничем пользоваться нельзя. Каждый пункт имеет свой вес, максимальная оценка за коллоквиум составляет 10 баллов. Коллоквиум проводится по материалу лекций 1-11.
• Экзамен
  Проходит письменно, длится 2 часа. Содержит в себе вопросы по определениям и формулировкам, доказательство теоремы и два теоретических вопроса (простого и повышенного уровня), демонстрирующих уровень владения теоретическим материалом. Во время подготовки ничем пользоваться нельзя. Каждый пункт имеет свой вес, максимальная оценка за экзамен составляет 10 баллов. Экзамен проводится по материалу лекций 12,13, 15-19.

Промежуточная аттестация

• 2024/2025 4th module
  Итог = Округление(Мин(0.2 * ДЗ + 0.1 * СР + 0.2*КР1+0.2*КР2+0.2*Кол +0.2*Экз; 10)), где ДЗ = 10*Min (SUM/12, 1), где SUM-сумма баллов все ДЗ в семестре, СР – сумма баллов за самостоятельные, КРj – сумма баллов за j-ю контрольную работу, Кол – сумма баллов за коллоквиум, Экз – сумма баллов за экзамен. Округление арифметическое. Первая пересдача проводится в формате, аналогичном экзамену, и представляет собой пересдачу только экзамена. Формула итоговой оценки не меняется.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Введение в комплексный анализ : учеб. пособие, Шабат, Б. В., 1969
• Лекции по теории функций комплексного переменного, Сидоров, Ю. В., 1976
• Сборник задач по теории аналитических функций : учеб. пособие для вузов, Евграфов, М. А., 1972
• Функции комплексного переменного : задачи и примеры с подробными решениями: учеб. пособие для вузов, Краснов, М. Л., 2003

Рекомендуемая дополнительная литература

• Сборник задач по теории функций комплексного переменного : учебное пособие, Шабунин, М. И., 2011

Авторы

• Днестрян Андрей Игоревич
• Владыкина Вероника Евгеньевна