Бакалавриат
2024/2025
Дифференциальные уравнения
Статус:
Курс по выбору (Совместная программа по экономике НИУ ВШЭ и РЭШ)
Направление:
38.03.01. Экономика
Где читается:
Факультет экономических наук
Когда читается:
4-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Охват аудитории:
для своего кампуса
Преподаватели:
Шапошников Станислав Валерьевич
Язык:
русский
Кредиты:
6
Программа дисциплины
Аннотация
Дисциплина "Дифференциальные уравнения" обеспечивает подготовку слушателей по одной из фундаментальных математических дисциплин, являющейся мощным орудием исследования многих задач естествознания и экономических дисциплин.
Цель освоения дисциплины
- Целью освоения дисциплины «Дифференциальные уравнения» познакомить студентов с широким кругом идей и методов решения и анализа дифференциальных уравнений.
Планируемые результаты обучения
- Владеет навыками анализа естественнонаучных задач с помощью дифференциальных уравнений
- Владеет навыками численного решения дифференциальных уравнений
- Знает доказательства основных теорем теории дифференциальных уравнений
- Знает определения основных понятий теории дифференциальных уравнений
- Знает примеры приложения теории дифференциальных уравнений к экономическим и естественнонаучным задачам
- Может исследовать качественные свойства дифференциальных уравнений
- Может решать основные типы дифференциальных уравнений
- Может строить фазовые портреты дифференциальных уравнений
Содержание учебной дисциплины
- Понятие дифференциального уравнения.
- Простейшие примеры дифференциальных уравнений в размерности 1.
- Многомерные фазовые пространства.
- Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения (без доказательства).
- Уравнения в полных дифференциалах.
- Консервативные системы с одной степенью свободы
- Линейные уравнения в размерности 1 с переменными коэффициентами.
- Линейные системы с постоянными коэффициентами в произвольной размерности. Общие свойства.
- Классификация особых точек системы линейных уравнений с двумя переменными.
- Матричная экспонента.
- Линеаризация нелинейных систем вблизи особых точек.
- Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Теорема об устойчивости по первому приближению (без доказательства).
- Мягкие и жесткие модели. Структурная устойчивость. Понятие о бифуркациях. Примеры: седлоузловая бифуркация, бифуркация Андронова — Хопфа.
- Предельные циклы. Отображение Пуанкаре. Устойчивость предельных циклов. 16-проблема Гильберта (формулировка).
- Дифференциальные уравнения на двумерном торе. Плотная обмотка тора.
Промежуточная аттестация
- 2024/2025 4th module0.4 * Домашнее задание + 0.2 * Контрольная работа + 0.4 * Экзамен
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Высшая математика : интегралы по мере, дифференциальные уравнения, ряды, Виленкин, И. В., 2011
- Дифференциальные уравнения : учеб. пособие для вузов, Демидович, Б. П., 2006
Рекомендуемая дополнительная литература
- Дифференциальные уравнения : учебник для вузов, Тихонов, А. Н., 2002