Бакалавриат
2024/2025
Анализ Фурье
Статус:
Курс обязательный (Математика)
Направление:
01.03.01. Математика
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
2-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Охват аудитории:
для своего кампуса
Язык:
русский
Кредиты:
5
Программа дисциплины
Аннотация
Курс анализ Фурье представляет собой последнюю часть двухгодичного курса анализа. Он посвящён изучению бесконечномерных пространств, снабженных топологией и их базисов. Преимущественно речь идёт о функциональных пространствах, таких, как L_1 и L_2. Мы изучим возможность разложения функции по ортонормированному базису Фурье, то есть разложения в ряды Фурье. Основное внимание уделим базисам, состоящим из тригонометрических функций. Коэффициенты разложение фукции в ряд Фурье многое говорят о её свойствах. Представление функции в виде ряда Фурье позволит нам решать некоторые основные уравнения математической физики, описывающие основные явления природы, такие как колебания струны, диффузия, стационарные процессы.
Цель освоения дисциплины
- Освоение основ теории гильбертовых пространств, разложение в ряды Фурье по различным ортогональным системам.
- Изучение рядов Фурье по тригонометрическим системам и условий их сходимости.
- Применение рядов Фурье для решения основных уравнений математической (метод Фурье).
- Освоение преобразования Фурье и его применений.
Планируемые результаты обучения
- Знакомство с гилбертовыми пространствами
- Знакомство с Евклидовым пространством, ортогональными базисами и процессом ортогонализации.
- Знакомство с неравенством Бесселя, замкнутыми ортогональными системы и равенством Парсеваля.
- Знакомство с пространствами L1 и L2
- Знакомство с рядами Фурье. Свойства и применение
- Различные типы сходимости
Содержание учебной дисциплины
- Нормированные и банаховы пространства. Примеры.
- Евклидово пространство. Ортогональные базисы. Процесс ортогонализации.
- Неравенство Бесселя. Замкнутые ортогональные системы. Равенство Парсеваля.
- Вещественный и комплексные гильбертовы пространства. Теорема об изоморфизме.
- Пространства L1 и L2. Теоремы о полноте этих пространства.
- Различные типы сходимости: равномерная, в среднем, почти всюду, по мере.
- Ортогональные системы функций в L2. Тригонометрические ряды Фурье.
- Многочлены Лежандра и Чебышева. Ряды Фурье в n-мерном пространстве.
- Условия сходимости ряда Фурье в точке. Интеграл Дирихле. Условие Дини.
- Условия равномерной сходимости ряда Фурье. Теорема Фейера.
- Полнота тригонометрической системы. Теоремы Вейерштрасса.
- Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов ряда Фурье.
- Применение рядов Фурье. Изопериметрическое неравенство. Метод Фурье разделения переменных.
Элементы контроля
- КоллоквиумУстный коллоквиум. Порядок проведения коллоквиума: каждый студент получает билет из 2 вопросов и 1 задачи. На подготовку дается 30 мин., потом они отвечают на вопросы и рассказывают решение задачи. Каждый ответ оценивается от 0 до 3 баллов. Если студент получил 9 баллов (ответил на оба вопроса и правильно решил задачу), ему ставится отметка 10. Если студент потерял баллы, то ему можно и нужно задать дополнительные вопросы (формулировка определения, формулы, теоремы по программе, примерный список прилагается). Это может добавить ему ещё 1–2 балла. Или снять 1-2 балла, если выяснится, что студент не знает что-то важное. Сумма баллов формирует оценку за коллоквиум.
- ЭкзаменУстный экзамен.
- ЛисткиСдача задал листков. Максимальная оценка 12.
- СеминарыОценка за семинары выставляется семинаристами.
Промежуточная аттестация
- 2024/2025 4th module0.25 * Коллоквиум + 0.125 * Листки + 0.125 * Листки + 0.125 * Семинары + 0.125 * Семинары + 0.25 * Экзамен
