Математический анализ 1

Бакалавриат 2023/2024

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Экономика)

Направление: 38.03.01. Экономика

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Злотник Александр Анатольевич, Ломоносов Тимофей Александрович, Неискашова Елена Валентиновна, Федченко Анна Сергеевна, Хабина Элла Львовна

Язык: русский

Кредиты: 9

Контактные часы: 110

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Дисциплина «Математический анализ 1» предназначена для студентов 1-го курса бакалавриата, обучающихся по направлению 38.03.01 «Экономика», образовательная программа «Экономика». Формат изучения дисциплины - без использования онлайн курса. При изучении дисциплины студенты познакомятся с базовыми положениями и методами теории пределов и непрерывных функций, дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных. Материал курса иллюстрирован экономическими примерами. Основные положения дисциплины «Математический анализ 1» используются при изучении следующих дисциплин: «Математика для экономистов», «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Эконометрика», «Дифференциальные и разностные уравнения».

Цель освоения дисциплины

Добиться усвоения студентами теоретических основ, базовых результатов и теорем математического анализа, а также основных математических приемов и правил формального анализа и решения различных математических задач на основе полученных теоретических знаний
Подготовить слушателей к чтению современных текстов по экономической теории, использующих модели и методы многомерного математического анализа
Обеспечить запросы других разделов математики, использующих возникающие в математическом анализе конструкции
Научить слушателей давать оценку предельного поведения различных функций
Продемонстрировать возможность исследования зависимости экстремумов от параметров
Выработать у слушателей навыки решения типовых задач, способствующих усвоению основных понятий, а также задач, способствующих развитию начальных навыков научного исследования
Развить умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений

Планируемые результаты обучения

Cтудент дифференцирует элементарные функции и приобретает навыки использования свойств дифференцируемых функций.
Cтудент приобретает навыки использования свойств непрерывных функций.
Студент вычисляет пределы функций и последовательностей.
Студент вычисляет пределы функций нескольких переменных и приобретает навыки использования свойств непрерывных функций нескольких переменных.
Студент вычисляет производные высших порядков, применяет необходимое условие экстремума, приобретает навыки использования формулы Тейлора.
Студент вычисляет частные производные высших порядков, устанавливает достаточные условия экстремума, приобретает навыки использования формулы Тейлора для функций нескольких переменных.
Студент классифицирует числовые множества и функции и выполняет основные операции над ними.
Студент проводит полное исследование элементарной функции и строит их графики.
Студент классифицирует подмножества R^n и функции нескольких переменных и выполняет основные операции над ними.
Студент дифференцирует функции нескольких переменных и устанавливает для них необходимое условие экстремума
Студент устанавливает существование неявно заданной функции и вычисляет ее частные производные, решает задачу о локальной гладкой обратимости функции, устанавливает зависимость и независимость систем функций.
Студент решает задачи на условный экстремум, исследует зависимость экстремумов от параметров.
Студент формулирует определение функции, различает способы задания функции, воспроизводит теоремы об основных свойствах функций
Студент формулирует определения предела последовательности и предела функции, теоремы о их основных свойствах; различает типы неопределенностей, возникающие при вычислении пределов, и использует основные приемы их раскрытия; формулирует теоремы о первом и втором замечательных пределах, следствия из них
Студент демонстрирует навыки использования свойств непрерывных функций.
Студент формулирует определение непрерывности функции в точке; распознает типы точек разрыва функции; формулирует свойства функций, непрерывных в точке; формулирует определение непрерывности функции на промежутке; формулирует теоремы о свойствах функций, непрерывных на отрезке.
Студент формулирует определение дифференцируемости и дифференциала функции одной переменной; теоремы о дифференцируемых функциях (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши); формулирует и применяет правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 0/0 и бесконечность/бесконечность.
Студент формулирует определение производной функции в точке, ее геометрический, физический и экономический смысл; воспроизводит и применяет правила дифференцирования функций; применяет основные приемы вычисления производных функций, заданных неявно и заданных параметрически.
Студент формулирует определение производных высших порядков.
Студент воспроизводит формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа; воспроизводит таблицу разложений по формуле Маклорена некоторых элементарных функций и использует ее на практике.
Студент проводит полное исследование элементарных функций и строит их графики.
Студент формулирует определение функции нескольких переменных, формулирует определение линий уровня функции двух переменных и строит их на практике.
Студент формулирует определение частных производных высших порядков функций нескольких переменных; воспроизводит достаточные условия экстремума; воспроизводит формулу Тейлора для функций нескольких переменных.
Студент формулирует определения локальных экстремумов функций нескольких переменных, стационарных точек функции; воспроизводит теорему о необходимом условии экстремума функций нескольких переменных.
Студент формулирует определения частных производных первого порядка; определения полного и частных дифференциалов функции двух переменных; определение производной по направлению; определение градиента функции и его свойства; определения частных эластичностей функций нескольких переменных.
Студент воспроизводит теорему о существовании неявно заданной функции, теорему о локальной гладкой обратимости функции.
Студент формулирует определения строго выпуклой и строго вогнутой функций нескольких переменных.
Студент воспроизводит достаточные условия строго выпуклой, строго вогнутой функций нескольких переменных.
Студент исследует на глобальные экстремумы строго выпуклые и строго вогнутые функции.
Студент находит наибольшее и наименьшее значения непрерывной на компакте функции нескольких переменных.

Содержание учебной дисциплины

Тема 1. Непрерывные и дифференцируемые функции одной переменной. Раздел 1. Множества и функции.
Тема 1. Непрерывные и дифференцируемые функции одной переменной. Раздел 2. Пределы.
Тема 1. Непрерывные и дифференцируемые функции одной переменной. Раздел 3. Непрерывность.
Тема 1. Непрерывные и дифференцируемые функции одной переменной. Раздел 4. Операция дифференцирования и свойства дифференцируемых функций.
Тема 1. Непрерывные и дифференцируемые функции одной переменной. Раздел 5. Производные высших порядков, формула Тейлора, достаточные условия экстремума.
Тема 1. Непрерывные и дифференцируемые функции одной переменной. Раздел 6. Исследование функций. Графики функций.
Тема 2. Непрерывные и дифференцируемые функции нескольких переменных. Раздел 1. Множество R^n и его подмножества. Скалярные и векторные функции.
Тема 2. Непрерывные и дифференцируемые функции нескольких переменных. Раздел 2. Пределы и непрерывность функций.
Тема 2. Непрерывные и дифференцируемые функции нескольких переменных. Раздел 3. Дифференцирование функций. Необходимое условие экстремума.
Тема 2. Непрерывные и дифференцируемые функции нескольких переменных. Раздел 4. Частные производные высших порядков. Формула Тейлора. Достаточное условие экстремума.
Тема 2. Непрерывные и дифференцируемые функции нескольких переменных. Раздел 5. Неявно заданные отображения.
Тема 2. Непрерывные и дифференцируемые функции нескольких переменных. Раздел 6. Условный экстремум. Зависимость экстремумов от параметров. Однородные функции. Экономические приложения

Элементы контроля

Контрольная работа
Контрольная работа проводится по материалу темы 1. Длительность ее проведения составляет 80 минут. Каждый вариант контрольной работы состоит из нескольких заданий. Для каждого задания указывается максимальное количество баллов за его выполнение. Фактическая оценка за каждое задание выставляется студенту в соответствии с полнотой и правильностью решения задания и поэтому может быть дробной. Суммарное максимальное количество баллов за контрольную работу равно 10. Полученное студентом количество баллов N переводится в окончательную десятибалльную оценку M по следующей шкале: N = 0 => M = 0. 0 < N<= 1,5 => M = 1. 1,5 < N <= 3 => M = 2. 3 < N < 4,5 => M = 3. 4,5 <= N < 5,5 => M = 4. 5,5 <= N< 6=> M = 5. 6 <= N < 7 => M = 6. 7 <= N < 8 => M = 7. 8 <= N < 9 => M = 8. 9 <= N < 9,5 => M = 9. 9,5 <= N <= 10 => M = 10. Пересдача контрольной работы не предусмотрена.
Миниконтрольные работы 1-го модуля
Миниконтрольные работы 1-го модуля обычно проводятся каждые два семинара. На них предлагаются к решению две задачи, взятые по одной из домашних заданий двух предыдущих семинаров. Длительность проведения обычно составляет 15 минут, но может варьироваться по усмотрению преподавателя. При необходимости возможно проведение миниконтрольной работы по домашнему заданию одного предыдущего семинара. Максимальное количество баллов за каждую миниконтрольную работу равно 10. Фактическая оценка выставляется студенту в соответствии с полнотой и правильностью решения заданий и может быть целым числом от 1 до 10. Окончательный результат равен сумме оценок, набранных на всех миниконтрольных работах 1-го модуля, деленной на количество этих работ, с округлением дроби до тысячных. Пересдача миниконтрольных работ не предусмотрена.
Миниконтрольные работы 2-го модуля
Миниконтрольные работы 2-го модуля проводятся и оцениваются во 2-м модуле по тем же правилам, что миниконтрольные работы 1-го модуля.
Аудиторная работа на семинарах
Преподаватель, ведущий семинарские занятия в группе, самостоятельно разрабатывает схему оценивания аудиторной работы студентов группы и доводит её до их сведения. Значениями оценок за аудиторную работу являются целые числа от 0 до 10.
Экзамен
Экзаменационная работа состоит из нескольких заданий. Для каждого задания указывается максимальное количество баллов за его выполнение. Фактическая оценка за каждое задание выставляется студенту в соответствии с полнотой и правильностью решения задания и может быть дробной. Суммарное максимальное количество баллов за экзамен равно 10. Полученное студентом количество баллов N переводится в окончательную десятибалльную оценку M по следующей шкале: N = 0 => M = 0. 0 < N<= 1,5 => M = 1. 1,5 < N <= 3 => M = 2. 3 < N < 4,5 => M = 3. 4,5 <= N < 5,5 => M = 4. 5,5 <= N< 6=> M = 5. 6 <= N < 7 => M = 6. 7 <= N < 8 => M = 7. 8 <= N < 9 => M = 8. 9 <= N < 9,5 => M = 9. 9,5 <= N <= 10 => M = 10.

Промежуточная аттестация

2023/2024 учебный год 2 модуль
0.1 * Аудиторная работа на семинарах + 0.4 * Экзамен + 0.15 * Миниконтрольные работы 1-го модуля + 0.2 * Контрольная работа + 0.15 * Миниконтрольные работы 2-го модуля

Список литературы

Авторы

Злотник Александр Анатольевич
Поляков Николай Львович

Программа дисциплины