Бакалавриат 2022/2023

Случайные процессы

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика и информатика)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 4-й курс, 3 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Демидова Дарья Сергеевна, Каледин Максим Львович

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 44

Программа дисциплины

Аннотация

Случайные процессы возникают в тот момент, когда одних случайных величин становится недостаточно. Цены на бирже, процентные ставки, как и некоторые физические явления: диффузия, взаимодействие огромного числа частиц -- демонстрируют, что нужен более общий взгляд, учитывающий также изменения случайных величин во времени.Этот курс для тех, кто знаком с теорией вероятности и базовыми математическими дисциплинами и хотел бы пойти дальше, не забывая о практической стороне. Мы будем изучать теорию случайных процессов и центральными примерами для нас будут гауссовские процессы, цепи Маркова, Винеровский, Пуассоновский и связанные с ними процессы процессы Леви.

Цель освоения дисциплины

• Знать основные приёмы констурирования случайных процессов
• Уметь проводить базовое исследования случайных процессов с помощью распределений и ковариационных функций
• Знать и уметь применять и оценивать модели на основе Винеровского процесса

Содержание учебной дисциплины

• Напоминание теории вероятностей.
• Определение случайного процесса, основные понятия (матожидание и моменты, стационарность в узком и широком смысле, ковариационная функция процесса), первые примеры.
• Цепи Маркова. Стационарное распределение, эргодическая теорема. Общие цепи Маркова (необязательное конечное число состояний, но время дискретно). Примеры.
• Винеровский процесс (Броуновское движение). Определение, конструкция, выбор п.н. непрерывной модификации, недифференцируемость траектории.
• Процессы на основе Винеровского. Процесс Орнштейна-Уленбека, Геометрическое Броуновское движение. Модель Блэка-Шоулза и основные её проблемы.
• Пуассоновские процессы, прикладные примеры. Моменты и ковариационная функция. Потоки заявок, системы массового обслуживания.
• Марковские процессы. Основные свойства и факты, переходные ядра.
• Мартингалы. Моменты остановки. Разложение Дуба-Мейера. Теорема о свободном выборе.
• Стохастический интеграл Ито, мотивация. Конструкция интеграла Ито. Формула Ито, теорема Ито об изометрии.
• Стохастические дифференциальные уравнения и их базовая теория. Применение формулы Ито для аналитического исследования. Примеры.

Элементы контроля

• Домашнее задание 1
• Домашнее задание 2
• Экзамен
  Итоговый экзамен

Промежуточная аттестация

• 2022/2023 учебный год 3 модуль
  0.3 * Домашнее задание 1 + 0.3 * Домашнее задание 2 + 0.4 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Коралов, Л. Б. Теория вероятностей и случайные процессы / Л. Б. Коралов, Я. Г. Синай , под редакцией Б. М. Гуревича , перевод с английского Э. В. Переходцевой. — Москва : МЦНМО, 2014. — 408 с. — ISBN 978-5-4439-2073-3. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/71821 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
• Теория случайных процессов и ее инженерные приложения : учеб. пособие для вузов, Вентцель, Е. С., 2000

Рекомендуемая дополнительная литература

• Bernt Øksendal. (2010). Stochastic Differential Equations : An Introduction with Applications (Vol. 6th ed. 2003). Springer.

Авторы

• Каледин Максим Львович