Случайные процессы

Бакалавриат 2021/2022

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика и информатика)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 4-й курс, 3 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Демидова Дарья Сергеевна, Каледин Максим Львович

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 44

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Случайные процессы возникают в тот момент, когда одних случайных величин становится недостаточно. Цены на бирже, процентные ставки, как и некоторые физические явления: диффузия, взаимодействие огромного числа частиц -- демонстрируют, что нужен более общий взгляд, учитывающий также изменения случайных величин во времени.Этот курс для тех, кто знаком с теорией вероятности и базовыми математическими дисциплинами и хотел бы пойти дальше, не забывая о практической стороне. Мы будем изучать теорию случайных процессов и центральными примерами для нас будут гауссовские процессы, цепи Маркова, Винеровский, Пуассоновский и связанные с ними процессы процессы Леви.

Цель освоения дисциплины

Знать основные приёмы констурирования случайных процессов
Уметь проводить базовое исследования случайных процессов с помощью распределений и ковариационных функций
Знать и уметь применять и оценивать модели на основе Винеровского процесса

Содержание учебной дисциплины

Напоминание теории вероятностей.
Определение случайного процесса, основные понятия (матожидание и моменты, стационарность в узком и широком смысле, ковариационная функция процесса), первые примеры.
Цепи Маркова. Стационарное распределение, эргодическая теорема. Общие цепи Маркова (необязательное конечное число состояний, но время дискретно). Примеры.
Винеровский процесс (Броуновское движение). Определение, конструкция, выбор п.н. непрерывной модификации, недифференцируемость траектории.
Процессы на основе Винеровского. Процесс Орнштейна-Уленбека, Геометрическое Броуновское движение. Модель Блэка-Шоулза и основные её проблемы.
Пуассоновские процессы, прикладные примеры. Моменты и ковариационная функция. Потоки заявок, системы массового обслуживания.
Марковские процессы. Основные свойства и факты, переходные ядра.
Мартингалы. Моменты остановки. Разложение Дуба-Мейера. Теорема о свободном выборе.
Стохастический интеграл Ито, мотивация. Конструкция интеграла Ито. Формула Ито, теорема Ито об изометрии.
Стохастические дифференциальные уравнения и их базовая теория. Применение формулы Ито для аналитического исследования. Примеры.

Элементы контроля

Домашнее задание 1
Содержит несколько теоретических задач и jupyter-ноутбук с практическими задачами на программирование. Выдаётся после 4 или 5 лекции. На выполнение даётся 2 недели, с возможностью поздней сдачи (мягкий дедлайн, -20% за неделю просрочки, суммарный штраф не более 80%).
Домашнее задание 2
Выдаётся после 6 или 7 лекции и содержит несколько теоретических задач и jupyter-ноутбук с практическими задачами на программирование. На выполнение даётся 2 недели, с возможностью поздней сдачи (мягкий дедлайн, -20% за неделю просрочки, суммарный штраф не более 80%).
Экзамен
Экзамен проходит в устной форме, возможно проведение экзамена в аудитории или онлайн. Студент получает случайным образом один билет, содержащий один теоретический вопрос по содержанию лекций и одну задачу. Во время подготовки студент может использовать любые информационные материалы, в том числе электронные, и любые устройства для арифметических вычислений. Студенту в процессе ответа могут быть заданы как дополнительные вопросы, так и дополнительные задачи.

Промежуточная аттестация

2021/2022 учебный год 3 модуль
0.3 * Домашнее задание 1 + 0.3 * Домашнее задание 2 + 0.4 * Экзамен

Список литературы

Авторы

Каледин Максим Львович

Программа дисциплины