Алгебра и геометрия (углубленный курс)

Бакалавриат 2026/2027

ID 1271253

Статус: Курс обязательный (Информатика и вычислительная техника)

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Иванов Федор Ильич, Преснова Анна Павловна

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 120

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Дисциплина входит в Базовый профессиональный модуль (Major баз.) и осваивается на 1 курсе в модулях 1–4. Её цель — сформировать линейно-алгебраический и геометрический аппарат, который на программе уровня ТОП ИТ «ПРО» рассматривается не как отвлечённая математика, а как прямая основа моделей машинного обучения и компьютерной графики. Содержание охватывает векторные пространства, матричное исчисление, собственные значения и векторы, квадратичные формы, аналитическую геометрию. Дисциплина формирует профессиональную компетенцию ПК-1 в части математического аппарата моделирования, общепрофессиональную компетенцию ОПК-1, а также универсальные компетенции УК-1, УК-2 и надпрофессиональные УНК-03, УНК-05.

Цель освоения дисциплины

Применяет аппарат матричной алгебры (включая операции с матрицами, вычисление определителей, нахождение обратных матриц) для преобразования и анализа данных в прикладных задачах, а также для исследования линейных операторов.
Использует векторную алгебру (скалярное, векторное и смешанное произведения) для вычисления геометрических характеристик фигур – длин, углов, площадей, объёмов – и определяет взаимное расположение объектов (коллинеарность, компланарность, ортогональность).
Составляет и преобразует уравнения прямых, плоскостей. Строит схематические чертежи, демонстрируя связь алгебраических уравнений с геометрическими образами.
Решает системы линейных алгебраических уравнений любой размерности, используя метод Гаусса, и интерпретирует результаты (совместность, количество решений, структуру общего решения) с привлечением теоремы Кронекера–Капелли и понятия ранга матрицы.
Исследует абстрактные линейные пространства и операторы: находит базисы и размерности, вычисляет собственные значения и собственные векторы, приводит матрицы к диагональному виду, а также анализирует ядро и образ линейного отображения.
Применяет теорию квадратичных форм и критерий Сильвестра для определения знакоопределённости форм и использует этот аппарат при исследовании экстремумов функций многих переменных; строит ортонормированные базисы с помощью процесса Грама–Шмидта.
Моделирует геометрические преобразования с помощью матриц и интерпретирует результаты.

Планируемые результаты обучения

Знать две конструкции для поля комплексных чисел
Знать критерий невырожденности матриц
Знать неравенства на ранги суммы и произведения матриц
Знать определение и уметь находить спектр матрицы
Знать определение перестановок и уметь совершать все операции с ними
Знать пять определений рангов матрицы и уметь доказывать их эквивалентность
Знать формулу для проектора и ортопроектора
Знать формулы для вычисления объема и ориентированного объема
Знать явную формулу для обратной матрицы
Уметь выражать матричными операциями элементарные преобразования
Уметь вычислять расстояния и углы между векторами
Уметь вычислять расстояния и углы между вектором и подпространством
Уметь вычислять расстояния между подмножествами евклидового пространства
Уметь задавать подпространства линейными оболочками и системами линейных уравнений и уметь пересчитывать одно в другое.
Уметь использовать блочные формулы для матричных операций
Уметь находить инвариантные подпространства в малых размерностях
Уметь находить минимальный и характеристический многочлены матрицы
Уметь определять количество решений СЛУ по ступенчатому виду
Уметь пользоваться теоремой Кронекера-Капелли
Формулирует определение вектора и его геометрическую интерпретацию.
Выполняет операции сложения, вычитания и умножения на скаляр над векторами, заданными геометрически и координатно.

Содержание учебной дисциплины

Векторы и линейные операции над ними.
Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
Перестановки и определитель
Системы линейных уравнений
Матрицы
Комплексные числа
Линейные пространства. Базис и размерность
Евклидовы пространства

Элементы контроля

Контрольная работа №2
Экзамен
Контрольная работа №3
Вычисление определителей
Экзамен
Комплексные числа
Многочлены и их корни
Контрольная работа - эвклидовы пространства

Промежуточная аттестация

2026/2027 2nd module
0.5 * Экзамен + 0.2 * Контрольная работа №2 + 0.1 * Вычисление определителей + 0.2 * Контрольная работа №3
2026/2027 4th module
0.2 * Контрольная работа - эвклидовы пространства + 0.5 * Экзамен + 0.1 * Комплексные числа + 0.2 * Многочлены и их корни

Список литературы

Авторы

Иванов Федор Ильич
Преснова Анна Павловна

Программа дисциплины