Алгебра и геометрия (углубленный курс)

Бакалавриат 2026/2027

Статус: Курс обязательный (Информатика и вычислительная техника)

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 120

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Дисциплина входит в Базовый профессиональный модуль (Major баз.) и осваивается на 1 курсе в модулях 1–4. Её цель — сформировать линейно-алгебраический и геометрический аппарат, который на программе уровня ТОП ИТ «ПРО» рассматривается не как отвлечённая математика, а как прямая основа моделей машинного обучения и компьютерной графики. Содержание охватывает векторные пространства, матричное исчисление, собственные значения и векторы, квадратичные формы, аналитическую геометрию и матричные разложения (SVD, PCA). Дисциплина формирует профессиональную компетенцию ПК-1 в части математического аппарата моделирования, общепрофессиональную компетенцию ОПК-1, а также универсальные компетенции УК-1, УК-2 и надпрофессиональные УНК-03, УНК-05. Углублённый уровень ТОП ИТ «ПРО» проявляется в обязательной программной реализации изучаемых методов: каждый теоретический раздел закрепляется расчётными заданиями на Python/NumPy. Практические форматы включают лекции, семинары и практические занятия с вычислительными экспериментами на реальных или модельных данных. Идеологическим партнёром дисциплины выступает Авито Тех, материалы которого используются через индустриальные кейсы «Корпоративное хранилище и витрины данных Avito (DWH/ETL)» и «ML-модели ранжирования и рекомендаций Avito». Партнёр предоставляет обезличенные датасеты, ML-кейсы, среду A/B-экспериментов и код-ревью наставников, что обеспечивает требуемую для уровня «ПРО» связь фундаментальной подготовки с производственной практикой. Профессиональным результатом освоения (артефактом) является расчётно-графическая работа с программной реализацией линейно-алгебраических методов на данных. Дисциплина отнесена к профильным и открывает сквозную линию подготовки «Математика → искусственный интеллект»: её результаты используются в дисциплинах «Интеллектуальная обработка данных», «Искусственный интеллект в мультимедиа», «Методы обработки текстов» и «Системы искусственного интеллекта на основе микроконтроллеров». Тем самым дисциплина обеспечивает математический фундамент профессиональных ролей КРМ «BI-аналитик / аналитик данных» и «Инженер DevOps» (в части AIOps).

Цель освоения дисциплины

Решает системы линейных алгебраических уравнений любой размерности, используя метод Гаусса, и интерпретирует результаты (совместность, количество решений, структуру общего решения) с привлечением теоремы Кронекера–Капелли и понятия ранга матрицы.
Применяет аппарат матричной алгебры (включая операции с матрицами, вычисление определителей, нахождение обратных матриц) для преобразования и анализа данных в прикладных задачах, а также для исследования линейных операторов.
Использует векторную алгебру (скалярное, векторное и смешанное произведения) для вычисления геометрических характеристик фигур – длин, углов, площадей, объёмов – и определяет взаимное расположение объектов (коллинеарность, компланарность, ортогональность).
Составляет и преобразует уравнения прямых, плоскостей, кривых и поверхностей второго порядка; классифицирует их по каноническим формам и строит схематические чертежи, демонстрируя связь алгебраических уравнений с геометрическими образами.
Исследует абстрактные линейные пространства и операторы: находит базисы и размерности, вычисляет собственные значения и собственные векторы, приводит матрицы к диагональному виду, а также анализирует ядро и образ линейного отображения.
Применяет теорию квадратичных форм и критерий Сильвестра для определения знакоопределённости форм и использует этот аппарат при исследовании экстремумов функций многих переменных; строит ортонормированные базисы с помощью процесса Грама–Шмидта.
Моделирует геометрические преобразования (повороты, масштабирования, сдвиги) с помощью матриц в однородных координатах и интерпретирует результаты как аффинные преобразования, демонстрируя понимание их роли в компьютерной графике и инженерных расчётах.

Планируемые результаты обучения

Знать две конструкции для поля комплексных чисел
Знать и уметь выполнять все матричные оператции
Знать когда две матрицы задают одно и то же линейное отображение между двух векторных пространств в разных парах базисов
Знать критерий невырожденности матриц
Знать неравенства на ранги суммы и произведения матриц
Знать определение и уметь находить спектр матрицы
Знать определение перестановок и уметь совершать все операции с ними
Знать пять определений рангов матрицы и уметь доказывать их эквивалентность
Знать формулу для проектора и ортопроектора
Знать формулы для вычисления объема и ориентированного объема
Знать явную формулу для обратной матрицы
Уметь выражать матричными операциями элементарные преобразования
Уметь вычислять расстояния и углы между векторами
Уметь вычислять расстояния и углы между вектором и подпространством
Уметь вычислять расстояния между подмножествами евклидового пространства
Уметь задавать подпространства линейными оболочками и системами линейных уравнений и уметь пересчитывать одно в другое.
Уметь использовать блочные формулы для матричных операций
Уметь находить инвариантные подпространства в малых размерностях
Уметь находить минимальный и характеристический многочлены матрицы
Уметь определять количество решений СЛУ по ступенчатому виду
Уметь пользоваться теоремой Кронекера-Капелли
Формулирует определение вектора и его геометрическую интерпретацию.
Выполняет операции сложения, вычитания и умножения на скаляр над векторами, заданными геометрически и координатно.
Выполняет линейные операции над векторами в координатной и геометрической формах.
Определяет коллинеарность и компланарность векторов по координатам.

Содержание учебной дисциплины

Векторы и линейные операции над ними.
Аналитическая геометрия линий и поверхностей
Перестановки и определитель
Линейные пространства
Системы линейных уравнений
Матрицы
Комплексные числа
Евклидовы пространства

Элементы контроля

Контрольная работа по теме - системы линейных уравнений
Матричная алгебра
Контрольная работа - линейные пространства
Экзамен
Контрольная работа по теме - системы линейных уравнений
Вычисление определителей
Экзамен
Комплексные числа
Многочлены и их корни
Контрольная работа - эвклидовы пространства

Промежуточная аттестация

2026/2027 2nd module
0.1 * Матричная алгебра + 0.5 * Экзамен + 0.1 * Контрольная работа по теме - системы линейных уравнений + 0.1 * Контрольная работа - линейные пространства + 0.1 * Вычисление определителей + 0.1 * Контрольная работа по теме - системы линейных уравнений
2026/2027 4th module
0.2 * Контрольная работа - эвклидовы пространства + 0.5 * Экзамен + 0.1 * Комплексные числа + 0.2 * Многочлены и их корни

Список литературы

Авторы

Иванов Федор Ильич
Преснова Анна Павловна

Программа дисциплины