Случайные процессы и их приложения

Бакалавриат 2026/2027

ID 1270796

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика и информатика)

Кто читает: Базовая кафедра Института проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 3-й курс, 1, 2 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Пучкин Никита Андреевич, Самсонов Сергей Владимирович, Яковлев Константин Дмитриевич

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 84

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

В рамках курса будут изложены основы теории случайных процессов и стохастического интегрирования. В качестве основного приложения данной теории выбраны стохастические дифференциальные уравнения и их применения к задачам генеративного моделирования и сэмплинга (генерации данных из заданного распределения).

Цель освоения дисциплины

сформировать строгие представления о случайных процессах и их конечномерных распределениях;
изучить основные примеры случайных процессов и свойства их траекторий;
освоить мартингальные методы и основные теоремы сходимости;
построить стохастический интеграл Ито и освоить формулу Ито;
изучить сильные и слабые решения стохастических дифференциальных уравнений;
освоить мартингальную замену меры на основе теоремы Гирсанова;
изучить марковские ядра, генераторы диффузий и уравнения Колмогорова;
познакомиться с применениями стохастического анализа в сэмплинге и диффузионном моделировании.

Планируемые результаты обучения

вычислять моменты, ковариации, конечномерные и условные распределения стандартных процессов;
проверять мартингальные свойства процессов и находить квадратичные характеристики;
вычислять интегралы Ито и применять формулу Ито;
решать линейные стохастические дифференциальные уравнения;
обосновывать замену вероятностной меры и изменение коэффициента сноса;
находить генераторы диффузий и записывать уравнения Колмогорова и Фоккера–Планка;
интерпретировать модели Ланжевена, обращение времени и обучение скор-функции.

Содержание учебной дисциплины

Меры и продолжение меры
Случайные процессы и регулярность
Винеровский процесс
Гауссовские и пуассоновские процессы
Условное ожидание и мартингалы
Неравенства и сходимость мартингалов
Стохастический интеграл Ито
Формула Ито и сильные решения СДУ
Представление мартингалов и линейные СДУ
Многомерное исчисление Ито
Теорема Гирсанова
Марковские процессы и диффузии
Генераторы и уравнения Колмогорова
Диффузионное моделирование и контроль

Элементы контроля

Домашние задания
Письменные работы из 2-4 теоретических задач выдаются после каждого семинара. Задачи покрывают следующие темы: теорема Колмогорова, сепарабельность, винеровский, гауссовск и пуассоновский процессы, гауссовские процессы, мартингалы и предельные теоремы для мартингалов, интеграл Ито, подсчет квадратичной вариации, экспоненциальные мартингалы, линейные СДУ, теорема Гирсанова, диффузионные генераторы.
Коллоквиум
В формате устного экзамена по опубликованному перечню вопросов. Проверяются определения и формулировки основных теорем, понимание доказательств и владение стандартными примерами. Возможны дополнительные вопросы по программе курса. Возможно включение задач из домашних заданий.
Экзамен
Устный экзамен по опубликованному перечню вопросов. Проверяются определения и формулировки основных теорем, понимание доказательств и владение стандартными примерами. Возможны дополнительные вопросы по программе курса. Возможно включение задач из домашних заданий.

Промежуточная аттестация

2026/2027 2nd module
Итог = Округление(0,02 × ДЗ + 0,49 × K + 0,49 × Э). ДЗ - среднее арифметическое оценок за домашние задания; K - оценка за устный экзамен Э - оценка за устный экзамен.

Список литературы

Авторы

Самсонов Сергей Владимирович
Пучкин Никита Андреевич

Программа дисциплины