Введение в теорию усреднения

2026/2027

ID 1270617

Статус: Маго-лего

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 3, 4 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Королева Юлия Олеговна

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 76

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Теория усреднения - смежная область знаний между функциональным анализом и математической физикой. Основная задача, решаемая в в рамках теории усреднения, - это построение упрощенной модели задачи, близкой в смысле сходимости по некоторой норме, к допредельной граничной задаче, изначально зависящей от малого параметра. Таким параметром может служить, например, размер малых включений или малых частей границы в рассматриваемой геометрической конструкции. Допредельная граничная задача, описывающая некоторый физический процесс, изначально является сингулярно-возмущенной, то есть зависит от малого параметра. Решить аналитически или численно поставленную задачу не представляется возможным, так как при стремлении малого параметра к нулю требуется совершение большого множества вычислительных операций (для каждого малого значения параметра), что требует огромного времени и очень мощного процессора. Математически данная проблема решается с помощью асимптотического приближения: строится предельная задача, рассматриваемая в предельной области, которая сходится по норме соответствующего функционального пространства к решению начальной сингулярно-возмущенной задачи. Кроме построения предельной задачи в рамках метода теории усреднения также требуется обосновать существование решений допредельной и предельной задач, а также доказать их сходимость в соответствующей функциональной норме.

Цель освоения дисциплины

Ознакомление студентов с основными понятиями и методами теории усреднения (малый параметр, предельная задача, граничные задачи Дирихле, Неймана, Фурье).
Ознакомление студентов с задачами математической физики.

Планируемые результаты обучения

Умение обосновывать сходимость функции с малым параметром к пределу в соответствующей норме.
Построение асимптотических разложений различных функций. Построение оценки нормы погрешности.
Построение асимптотических разложений граничных задач с малым параметром.
Построение асимптотических разложений.
Построение предельной задачи для граничных задач Дирихле, Неймана, Фурье.