Принципы моделирования неравновесных процессов в сложных системах

Магистратура 2026/2027

Статус: Курс обязательный (Системный анализ и математические технологии)

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Будков Юрий Алексеевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 60

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Большинство реальных физико-химических систем находятся в неравновесном состоянии: броуновская частица в жидкости, работающий молекулярный мотор, растущий кристалл или флуктуирующая концентрация реагентов в микрореакторе. Классическая термодинамика и равновесная статистическая механика здесь дают лишь приближённые ответы или не дают вовсе. Необходим иной язык: язык случайных сил, диссипации и стохастических дифференциальных уравнений. Этот мини-курс знакомит с ключевыми принципами современной неравновесной статистической механики на примере сложных систем. Главный инструмент – уравнения Ланжевена и тесно связанные с ними уравнения Фоккера–Планка. Вместо абстрактного формализма мы сосредоточимся на физическом содержании: как из случайных толчков окружения и вязкого трения возникает знаменитая флуктуационно-диссипативная теорема, и почему она лежит в основе любого надёжного описания шумов. Вы увидите, как стохастические методы работают при моделировании диффузии в пористых средах, расчёте скоростей химических реакций под действием флуктуаций, а также анализе стабильности коллоидных систем. Отдельная тема – динамические критические явления. На примере классификации Хоэнберга–Гальперина мы разберём, как универсальные классы поведения возникают вблизи фазовых переходов в неравновесных системах. На конкретных физических примерах (рост кристаллов, спиновые системы, жидкие кристаллы) вы научитесь понимать, почему флуктуации становятся аномально сильными. По итогу курса вы получите готовый концептуальный аппарат для описания неравновесных процессов от нано- до макромасштабов и понимание, где и как применять его в собственных исследованиях.

Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины — сформировать у студентов целостное представление о современных методах описания неравновесных физико-химических систем и навыки применения стохастических подходов, прежде всего уравнений Ланжевена и Фоккера–Планка, для анализа диффузионных, релаксационных, реакционных и критических процессов.

Планируемые результаты обучения

Студент умеет выделять случайные и детерминированные компоненты динамики и характеризовать шум через средние и корреляционные функции.
Студент умеет записывать и анализировать уравнение Ланжевена, рассчитывать среднеквадратичное смещение и коэффициент диффузии.
Студент понимает связь между тепловыми флуктуациями и диссипацией и умеет устанавливать интенсивность равновесного шума.
Студент умеет переходить от стохастического уравнения движения к эволюционному уравнению для распределения вероятностей и находить стационарные состояния.
Студент понимает различия интерпретаций Ито и Стратоновича и умеет выбирать физически корректное описание систем с неоднородным шумом.
Студент умеет оценивать скорости переходов через энергетические барьеры и связывать их с параметрами среды и температурой.
Студент умеет переходить от микроскопического описания к динамике полей плотности и формулировать стохастические законы сохранения.
Студент умеет строить релаксационные уравнения для параметра порядка и различать динамику сохраняющихся и несохраняющихся величин.