Математический анализ 2

Бакалавриат 2026/2027

Статус: Курс обязательный (Бизнес-информатика)

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 1-й курс, 3, 4 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 76

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Математический анализ есть исследование взаимного влияния количественных величин, меняющихся непрерывно. Изучение математического анализа продолжается изложением дифференциального исчисления числовых функций нескольких вещественных переменных и завершается построением интегрального исчисления. Обобщая операцию дифференцирования на многомерный случай и определяя операцию интегрирования, математический анализ предоставляет исследователю и практику эффективные методы работы с непрерывными математическими моделями, описывающими на языке функций структуры и процессы в природе, человеке или обществе. Поскольку современное, рациональное управление немыслимо без использования математических моделей, базовые знания по математическому анализу необходимы как для самостоятельного решения экономических, инженерных и иных задач, так и для понимания способов и результатов их применения другими людьми. Кроме того, изучение математического анализа развивает умение мыслить логически, повышает интеллектуальный уровень и расширяет общекультурный кругозор человека.

Цель освоения дисциплины

Приобретение студентами базовых знаний по дифференциальному и интегральному исчислению функций одной или нескольких действительных переменных; знакомство с кругом стандартных задач математического анализа и основных методов их решения.
Формирование умения применять методы математического анализа для решения различных задач, в том числе возникающих в других дисциплинах, а также способности оценивать результаты их применения.
Формирование посредством работы с абстрактными понятиями высшей математики навыков строгого логического мышления; повышение интеллектуального уровня и расширение общекультурного кругозора студентов.

Планируемые результаты обучения

Уметь разъяснять утверждения определений и теорем, приводя примеры и контрпримеры.
Уметь анализируя условия задачи, проверять возможность решения данной задачи тем или иным методом, подбирать наилучший метод из числа применимых для решения данной задачи.
Уметь формулировать определения базовых понятий и основные теоремы дифференциального исчисления функций нескольких вещественных переменных.
Уметь решать стандартные задачи дифференциального исчисления функций нескольких вещественных переменных, применяя указанный метод.
Уметь доказывать основные теоремы дифференциального исчисления функций нескольких вещественных переменных, предсказывать свойства возможных решений, проверять полученные решения на предмет их возможности.

Содержание учебной дисциплины

Интегральное исчисление
Тема 11. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава V §1 стр. 87-88, §2 стр. 89-90, §3 стр. 91-93. Первообразная. Неопределенный интеграл. Их свойства. Таблица простейших неопределенных интегралов. Теорема о замене переменной в неопределенном интеграле. Тема 12. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава V §4 стр. 94, §5 стр. 96-99, §7 стр. 106. Теорема об интегрировании по частям в неопределенном интеграле. Дробно-рациональные функции (ДРФ), правильные ДРФ, каноническое разложение многочлена на линейные и квадратичные вещественные множители. Разложение правильной ДРФ на элементарные дроби. Интегрирование дробно-рациональной функции. Интегрирование тригонометрической дробно-рациональной функции. Тема 13. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава VIII §1 стр. 143-145, §2 стр. 149-150. Нижняя и верхняя суммы Дарбу и их свойства. Определенный интеграл. Критерий интегрируемости функции. Теоремы о достаточных условиях интегрируемости функции. Пример неинтегрируемой функции. Свойства определенного интеграла. Тема 14. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава VIII §2 стр. 150-151, §3 стр. 153-155, §4 стр. 164-165. Теорема о среднем и ее следствия. Интеграл с переменным верхним пределом, теорема о его производной. Теорема о существовании первообразной на сегменте. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема о замене переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле. Тема 15. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть II. 4-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. Глава 3. §1-2, стр. 98-109. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Признаки сходимости несобственных интегралов. Следствия о сходимости и расходимости в сравнении со степенной функцией. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Интегральный признак сходимости рядов. Теоретико-вероятностные приложения определённого интеграла: вычисление средних величин и дисперсии. Тема 16. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава VIII §5 стр. 167-168. Понятие площади плоской фигуры. Связь площади и определённого интеграла. Вычисление площадей фигур, заданных различным способом (границей, являющейся графиком функции в декартовых или полярных координатах или параметрически). Тема 17. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава VIII §4 стр. 164-165. Глава XIII §1 стр. 317-318. Понятие длины кривой. Вычисление длин кривых, заданных различным способом (как график функции в декартовых или полярных координатах или параметрически). Криволинейный интеграл 1-го рода. Формула площади боковой поверхности тела вращения. Тема 18. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава XII §1 стр. 279-281; §2 стр. 295-297; §3 стр. 312-313. Понятие объема тела. Определённый интеграл функции нескольких переменных (кратный интеграл). Условия интегрируемости функции нескольких переменных. Первая теорема о понижении кратности интеграла. Сведение двойного интеграла к двум повторным. Тема 19. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава XII §1 стр. 281-284; §2 стр. 295-297; §3 стр. 313-314. Глава IX §1 стр. 177-179. Формула объема тела с известной площадью сечений. Вторая теорема о о понижении кратности интеграла. Замена переменных в кратном интеграле.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Тема 14. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава X §1 стр. 191-194; §2 стр. 198. Функции нескольких переменных и их графическое представление. Многомерные пространства. Множества и последовательности точек в них. Функции нескольких переменных. График и линии равного уровня функции двух переменных. Тема 15. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава X §2 стр. 198-200; §3 стр. 204-206. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных. Тема 16. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава X §4 стр. 213-217. Дифференцируемость функций нескольких переменных. Частные производные. Первый дифференциал, инвариантность его формы. Касательная плоскость к графику и касательная к линии равного уровня функции двух переменных. Дифференцирование сложной функции. Градиент и производная по направлению. Тема 17. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава X §5 стр. 225-229. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Тема 18. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава X §6 стр. 236-239. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия локального экстремума. Достаточные условия локального экстремума. Случай функции двух переменных. Примеры многокритериальной оптимизации: выбор оптимального сочетания факторов производства. Тема 19. Глобальные свойства непрерывных функций и глобальный экстремум. Образ и прообраз функционального преобразования. Множества, заданные равенствами и неравенствами для функций и их свойства. Сохранение открытости, замкнутости, компактности при функциональном преобразовании. Общая схема нахождения глобальных экстремумов непрерывной функции на компакте. Метод параметризации границы. Тема 20. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава XI §1 стр. 243-245. Неявные функции, определяемые одним уравнением. Существование и дифференцируемость неявных функций. Тема 21. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава XI §1 стр. 245-246, §2 стр. 257-258, §3 стр. 261-263. Неявные функции, определяемые системой нелинейных уравнений. Независимые функции. Разрешимость системы нелинейных уравнений, вычисление частных производных решения. Матрица Якоби. Условный экстремум с одним и несколькими условиями связи: метод исключения. Тема 22. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава XI §3 стр. 263-264. Условный экстремум с одним условием связи: графический метод. Условный экстремум с одним и несколькими условиями связи: метод неопределенных множителей Лагранжа, его геометрическая интерпретация. Необходимое условие экстремума. Тема 23. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава XI §3 стр. 263-264. Условный экстремум с одним и несколькими условиями связи: метод неопределенных множителей Лагранжа, его геометрическая интерпретация. Достаточное условие экстремума.

Элементы контроля

Аудиторная работа
Формами контроля аудиторной активности являются ответ на теоретический вопрос у доски или с места в аудитории, решение задачи у доски или на месте в аудитории. Назначением устных форм текущего контроля является стимулирование работы студентов по освоению дисциплины во время лекционного или семинарского занятия. Преподаватель, ведущий семинарские занятия, самостоятельно разрабатывает схему оценивания аудиторной работы студентов и доводит её до их сведения по электронной почте. Преподаватель имеет право использовать любую шкалу оценивания аудиторной работы на семинаре, а также способ перевода её в оценку за аудиторную работу. Значениями оценок за аудиторную работу в полугодиях являются целые числа от 0 до 10. Лектор имеет право (но не обязан) проводить во время лекций письменные контрольные работы (ЛКР), результаты которых учитываются при выведении аудиторной оценки как дополнительные баллы к оценке за аудиторную работу. Целью ЛКР является стимулирование посещаемости лекций. Форма оценивания ЛКР определяется лектором по своему усмотрению. Оценки за ЛКР учитываются в аудиторной оценке преподавателями, ведущими семинарские занятия, в соответствии со списком, предоставленным лектором. Оценки за ЛКР учитываются в форме повышения оценки за аудиторную работу на количество баллов, определённое лектором. Оценка за аудиторную работу не является блокирующей и не пересдаётся.
Мини-контрольные работы (МКР)
Семинарские МКР предназначены для того, чтобы стимулировать и оценивать самостоятельную работу студентов по освоению дисциплины, обеспечивать подготовленность студентов к работе на семинарах, стимулировать и контролировать посещаемость семинарских занятий. Оценка за любую мини-контрольную работу не является блокирующей и не пересдаётся. После каждой лекции студентам высылается список контрольных вопросов, проверяющих знание студентами теоретического материала, изложенного на лекции. Для знания ответа на контрольный вопрос, достаточно посещения лекции. Перед семинаром по теме данной лекции студенты обязаны повторить материал лекции по контрольным вопросам. То есть на семинар студенты обязаны прийти подготовившимися. Самостоятельная работа студентов по освоению дисциплины осуществляется в форме чтения разделов базового учебника, предваряющих списки контрольных вопросов к лекциям, и решении задач практических домашних заданий (далее просто ДЗ). Чтение указанных разделов базового учебника обязательно. Число ДЗ равно числу семинаров и лекций. Каждая лекция, семинар и ДЗ соответствует определённой теме. ДЗ выдаётся студентам по электронной почте или другим официальным каналам информации после лекции или семинара по соответствующей теме в качестве задания для самостоятельной работы. Все задачи, включённые в ДЗ, обязательны для решения. Преподаватель, ведущий семинарские занятия, имеет право рекомендовать студентам дополнительные задачи. Задачи дополнительные к основным решать рекомендуется, но они не обязательны. На выполнение каждого ДЗ даётся от 3 до 11 полных календарных дней, не считая день выдачи задания и день проведения мини-контрольной работы по данному заданию. Выполнение студентами практического домашнего задания и освоение теоретического материала, изложенного на лекции и в учебнике, проверяется с помощью мини-контрольной работы (МКР), проводимой в начале семинара. МКР проводятся в формате closed-book. Использование каких-либо записей, книг, прочих внешних источников информации, а также любых электронных устройств, включая калькуляторы, запрещается. Преподаватели, ведущие семинары, заранее составляют и распечатывают варианты заданий, раздают и собирают их. Учебные ассистенты забирают работы у преподавателей, проверяют, а потом возвращают. Преподаватели хранят все МКР своих групп до окончания дисциплины. МКР любого семинара, кроме МКР первого семинара полугодия, состоит из одной задачи, аналогичной или идентичной задачам ДЗ по теме предыдущего семинара, или одного контрольного вопроса по теме текущего семинара. Формулировки вопросов и задач в МКР могут отличаться от формулировок в списке и ДЗ, так как семинаристы могут их упрощать, сокращать, переформулировать, варьировать коэффициенты, члены формул и логические условия. Задание МКР первого семинара состоит из теоретического вопроса. Студент, пропустивший МКР, вне зависимости от причины пропуска не имеет возможности написать пропущенную МКР в другое время. После объявления оценок за МКР в течение следующих трёх дней студенты имеют право отправить проверяющему вопросы по проверке МКР. Проверяющий кратко, по существу и только один раз отвечает студенту на это сообщение, объясняя свою оценку. Спорить, вести дискуссии, что-либо предлагать, требовать или контактировать как-либо иначе студентам и учебным ассистентам запрещается. В случае разногласий с студента с учебным ассистентом, ассистент пересылает вопрос и свой ответ преподавателю, ведущему семинары, и он принимает окончательное решение об оценке МКР. Если в течение трёх дней оценка за МКР не была оспорена, то она становится окончательной и не может быть изменена. После того как все оценки за отдельные МКР стали окончательными, вычисляется среднее арифметическое всех оценок за МКР. Среднее оценок за МКР округляется арифметическим способом до тысячных. Во взвешенную сумму, определяющую итоговую оценку по дисциплине, среднее оценок за МКР входит с весом 0,29.
Экзаменационная контрольная работа
Промежуточный контроль по дисциплине проводится один раз в форме письменного экзамена в конце второго модуля. Экзамен проводится синхронно, в формате closed-book. Экзамен проводится офлайн. Использование каких-либо записей, книг, прочих внешних источников информации, а также любых электронных устройств, включая калькуляторы, во время экзамена в любом формате его проведения запрещается. Конкретные правила экзамена определяются отдельным документом, составляемым лектором вместе с преподавателями, ведущими семинарские занятия, и рассылаемым студентам по официальным канала связи в течение пяти дней после последнего семинарского занятия. Экзаменационное задание составляется из задач, аналогичных задачам домашних зданий, и теоретических вопросов, выбранных из списков контрольных вопросов, рассылаемых студентам после каждой лекции. Пример экзаменационного задания приведён в Разделе IV Программы дисциплины. Экзаменационное задание может отличаться от образца количеством и тематикой задач и теоретических вопросов. Лектор с согласия преподавателей, ведущих семинары, вправе освободить от прохождения экзамена некоторых студентов курса, в результатах экзаменов которых он не сомневается, с выставлением им оценки по дисциплине, соответствующей накопленной оценке без учёта веса экзамена. При округлении используется арифметическое правило. Лектор объявляет такое решение не позднее последнего семинара. Для объявления оценок могут быть использованы официальные каналы передачи информации, используемые в процессе обучения. По своему желанию студенты имеют право отказаться от выставления оценки без проведения экзамена и сдать его. Чтобы воспользоваться этим правом, студенты обязаны строго в указанный лектором срок официально сообщить своему преподавателю о своём отказе от автоматического итога. Студенты, не подавшие в установленный лектором срок заявления об отказе, считаются согласившимися со своей оценкой и, соответственно, утрачивают право сдавать экзамен. На экзамен такие студенты не допускаются. После показа работ оценка за экзамен становится окончательной. Участие в показе работ не является обязательным. Формат экзаменационного задания первой и второй пересдач аналогичен формату задания основного экзамена.

Промежуточная аттестация

2026/2027 4th module
0.6 * Экзаменационная контрольная работа + 0.11 * Аудиторная работа + 0.29 * Мини-контрольные работы (МКР)

Список литературы

Авторы

Колотвина Оксана Альбертовна
Субочев Андрей Николаевич

Программа дисциплины