Математический анализ 1

Бакалавриат 2026/2027

Статус: Курс обязательный (Бизнес-информатика)

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 56

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Математический анализ есть исследование взаимного влияния количественных величин, меняющихся непрерывно. Изучение математического анализа начинается с рассмотрения числовых последовательностей и их рядов. На этом основании строится дифференциальное исчисление числовых функций одной вещественной переменной. Определяя операции предельного перехода и дифференцирования, математический анализ предоставляет исследователю и практику эффективные методы работы с непрерывными математическими моделями, описывающими на языке функций структуры и процессы в природе, человеке или обществе. Поскольку современное, рациональное управление немыслимо без использования математических моделей, базовые знания по математическому анализу необходимы как для самостоятельного решения экономических, инженерных и иных задач, так и для понимания способов и результатов их применения другими людьми. Кроме того, изучение математического анализа развивает умение мыслить логически, повышает интеллектуальный уровень и расширяет общекультурный кругозор человека.

Цель освоения дисциплины

Приобретение студентами базовых знаний по дифференциальному исчислению функций одной действительной переменной; знакомство с кругом стандартных задач математического анализа и основных методов их решения.
Формирование умения применять методы математического анализа для решения различных задач, в том числе возникающих в других дисциплинах, а также способности оценивать результаты их применения.
Формирование посредством работы с абстрактными понятиями высшей математики навыков строгого логического мышления; повышение интеллектуального уровня и расширение общекультурного кругозора студентов.

Планируемые результаты обучения

Уметь формулировать определения базовых понятий и основные теоремы дифференциального исчисления функций одной вещественной переменной.
Уметь разъяснять утверждения определений и теорем, приводя примеры и контрпримеры.
Уметь решать стандартные задачи дифференциального исчисления функций одной вещественной переменной, применяя указанный метод.
Уметь анализируя условия задачи, проверять возможность решения данной задачи тем или иным методом, подбирать наилучший метод из числа применимых для решения данной задачи.
Уметь доказывать основные теоремы дифференциального исчисления функций одной вещественной переменной, предсказывать свойства возможных решений, проверять полученные решения на предмет их возможности.

Содержание учебной дисциплины

Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Тема 1. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава I, §1 стр. 5-6, §2 стр. 7-9. Десятичное представление вещественных чисел. Правило сравнения вещественных чисел. Рациональные числа: определение и способы записи. Кванторы. Максимум и минимум числового множества. Утверждение о максимуме и минимуме конечного числового множества. Примеры множеств, у которых нет максимума или минимума. Верхняя и нижняя грани множества. Точные верхняя и нижняя грани (супремум и инфимум) числового множества. Теорема о точных гранях. Общее определение функции. Числовые функции, их ограниченность, супремум и инфимум на множестве. Числовые последовательности: ограниченность, монотонность. Тема 2. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава II, §1 стр. 16, §2 стр. 21, §5 стр. 32, §6 стр. 34-35. Числовые последовательности: сходимость, предел. Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности. Сходимость монотонной ограниченной последовательности и её предел. Предельный переход в неравенстве. Теорема о двух полицейских. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними. Сравнение бесконечно малых величин. Сравнение бесконечно больших величин. Эталонные пределы. Одностороннее стремление. Тема 3. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава II, §3 стр. 24-25, §4 стр. 29-30. Теорема о сходимости и пределах результатов арифметических действий со сходящимися последовательностями. Следствие о бесконечной малости суммы, разности и произведения бесконечно малых последовательностей. Теорема об ограниченности суммы, разности и произведения ограниченных последовательностей. Теорема о произведении ограниченной и бесконечно малой последовательностей. Теорема о результатах арифметических действий с бесконечно большими последовательностями. Подстановка сходящихся последовательностей в базовые элементарные функции. Первый замечательный предел. Подстановка бесконечно больших последовательностей в базовые элементарные функции. Второй замечательный предел. Тема 4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. Глава 13. §1, раздел 1, стр. 426-427; разделы 2 и 3, стр. 429-432. §2, разделы 1, 2 и 3, стр. 432-439. §3, разделы 1, 2 и 3, стр. 445-447, 449, 450. Ряд, частичная сумма ряда, сумма ряда. Представление вещественного числа в виде суммы ряда. Сумма геометрической прогрессии. Доказательство рациональности периодических десятичных дробей. Гармонический ряд. Необходимое условие сходимости ряда. Достаточные условия сходимости положительного ряда: признак сравнения, признак Даламбера, признак Коши. Абсолютная и условная сходимости ряда. Признак сходимости Абеля-Дирихле. Перестановочное свойство для рядов. Тема 5. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава III, §1 стр. 40-43. Примеры вещественнозначной функции одной вещественной переменной: области определения и множества значений базовых элементарных функций. Предельная точка числового множества. Определение предела функции одного вещественного переменного в точке по Гейне. Односторонние пределы. Теорема о связи предела функции в точке и её пределов в этой точке справа и слева. Предел функции на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Теорема о связи бесконечно большой и бесконечно малой величин. Арифметические действия с функциями и их пределы. Многочлен и рациональная функция. Пределы базовых элементарных функций. Тема 6. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава III, §3 стр. 52-53, §4 стр. 58-60. Сравнение бесконечно малых функций: функции одного порядка малости, эквивалентные функции, бесконечно малые функции более высокого порядка. Символ о-малое и действия с ним (алгебра о-малого). Асимптотические формулы: представление функции в виде суммы многочлена и бесконечно малой величины. Нахождение пределов функций с помощью асимптотических формул. Вывод асимптотических формул базовых элементарных функций. Тема 7. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава III, §2 стр. 48-49, §4 стр. 58-60. Композиция функций и обратная функция. Асимптотические формулы частного, композиции функций и обратной функции. Непрерывность функции. Односторонняя непрерывность. Сохранение непрерывности при арифметических операциях и композиции. Непрерывность многочленов и рациональных функций. Непрерывность обратной функции. Непрерывность элементарных функций. Непрерывность модуля, минимума и максимума. Разрывы функции и их классификация: устранимые разрывы, неустранимые разрывы 1-го и 2-го рода. Гиперболические функции. Тема 8. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава IV §1 стр. 65-67, §2 стр. 77-78. Дифференцируемость и дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Непрерывность дифференцируемой функции. Производная и ее связь с дифференцируемостью и дифференциалом. Касательная к графику функции и геометрический смысл производной. Бесконечная производная. Физический смысл производной: производная как скорость изменения функции. Односторонние производные. Дифференцируемость, дифференциалы и производные результатов арифметических действий с функциями. Дифференцируемость, дифференциал и производная сложной функции. Дифференцируемость и производная обратной функции. Дифференцируемость и производные элементарных функций. Производная симметричной функции. Тема 9. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава VI, §1, стр. 108-109; §3, разделы 1 и 2, стр. 116. Глава VII, §1, раздел 3, стр.130-131. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. Глава 8. §1-4, стр. 247-256, §7-8, стр. 260-262. Глава 9. §1, стр. 300-307, §7, стр. 323-325. Определение предела функции одного вещественного переменного в точке по Коши. Эквивалентность двух определений предела. Устойчивость знака непрерывной функции. Теорема о корне непрерывной на сегменте функции и решение нелинейных уравнений. Промежутки знакопостоянства и их границы. Теорема о промежуточном значении. Возрастание (убывание) функции в точке, достаточное условие выполнения этого свойства. Монотонность функции на множестве. Условия монотонности функции на промежутке. Промежутки монотонности и их границы. Локальный экстремум. Необходимое условие локального экстремума (теорема Ферма). Достаточные условия локального экстремума. Тема 10. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава VI §1 стр. 108-110; §3 стр. 116-117; §4 стр.122-123. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. Глава 8. §5-6, стр. 256-259, §9-12, стр. 263-274. Ограниченность функции на множестве и глобальный экстремум. Необходимое условие глобального экстремума. Теорема об ограниченности непрерывной на сегменте функции (1-я теорема Вейерштрасса). Достаточное условие глобального экстремума: теорема о достижении непрерывной на сегменте функцией своих точных верхней и нижней граней (2-я теорема Вейерштрасса). Теорема о нуле производной (теорема Ролля). Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши). Правило Лопиталя. Формула конечных приращений (формула Лагранжа) и её следствия. Тема 11. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава IV §3 стр. 80-82. Глава VI §5 стр. 125-126. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. Глава 5. §10, стр. 183-187. Глава 8. §13-16, стр. 275-299. Производные высших порядков. Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Многократная дифференцируемость и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и ее приложение к оценке точности приближённых вычислений. Интервальная оценка иррациональных величин (корней натуральных чисел, синусов малых углов, чисел π и e). Выбор степени многочлена Тейлора, гарантирующей заданную точность вычислений. Тема 12. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава VII §1 стр. 130-132. Необходимое условие и достаточные условия перегиба. Вертикальная и наклонная асимптоты графика функции. Критерий существования наклонной асимптоты. Тема 13. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава VII §1 стр. 130-132, §2 стр. 137-139. Выпуклость множества в геометрическом и линейном пространствах. Два определения выпуклости графика функции на промежутке (через хорду и через касательную) и их связь. Достаточное условие выпуклости графика функции на промежутке. Промежутки выпуклости и их границы. Точки перегиба. План анализа функции и построения её графика. Параметрически заданная кривая и её построение. Тема 14. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. Глава 5. §11, стр. 188. Глава 9. §2-3, стр. 308-315, §6, стр. 320-322. Бесконечная дифференцируемость функции в точке и ряд Тейлора. Сходимость ряда Тейлора. Понятие аналитической функции (по Вейерштрассу). Область аналитичности. Теорема о дифференцируемости, производной и ряде Тейлора аналитической функции. Аналитичность основных элементарных функций и их ряды Тейлора. Сходимость и предел последовательности комплексных чисел. Определение функции комплексного переменного через ряд Тейлора. Доказательство формулы Эйлера (экспоненциальная форма комплексного числа). Вычисление значений базовых элементарных функций вне их области определения.

Элементы контроля

Аудиторная работа
Формами контроля аудиторной активности являются ответ на теоретический вопрос у доски или с места в аудитории, решение задачи у доски или на месте в аудитории. Назначением устных форм текущего контроля является стимулирование работы студентов по освоению дисциплины во время лекционного или семинарского занятия. Преподаватель, ведущий семинарские занятия, самостоятельно разрабатывает схему оценивания аудиторной работы студентов и доводит её до их сведения по электронной почте. Преподаватель имеет право использовать любую шкалу оценивания аудиторной работы на семинаре, а также способ перевода её в оценку за аудиторную работу. Значениями оценок за аудиторную работу в полугодиях являются целые числа от 0 до 10. Лектор имеет право (но не обязан) проводить во время лекций письменные контрольные работы (ЛКР), результаты которых учитываются при выведении аудиторной оценки как дополнительные баллы к оценке за аудиторную работу. Целью ЛКР является стимулирование посещаемости лекций. Форма оценивания ЛКР определяется лектором по своему усмотрению. Оценки за ЛКР учитываются в аудиторной оценке преподавателями, ведущими семинарские занятия, в соответствии со списком, предоставленным лектором. Оценки за ЛКР учитываются в форме повышения оценки за аудиторную работу на количество баллов, определённое лектором. Оценка за аудиторную работу не является блокирующей и не пересдаётся.
Мини-контрольные работы (МКР)
Семинарские МКР предназначены для того, чтобы стимулировать и оценивать самостоятельную работу студентов по освоению дисциплины, обеспечивать подготовленность студентов к работе на семинарах, стимулировать и контролировать посещаемость семинарских занятий. Оценка за любую мини-контрольную работу не является блокирующей и не пересдаётся. После каждой лекции студентам высылается список контрольных вопросов, проверяющих знание студентами теоретического материала, изложенного на лекции. Для знания ответа на контрольный вопрос, достаточно посещения лекции. Перед семинаром по теме данной лекции студенты обязаны повторить материал лекции по контрольным вопросам. То есть на семинар студенты обязаны прийти подготовившимися. Самостоятельная работа студентов по освоению дисциплины осуществляется в форме чтения разделов базового учебника, предваряющих списки контрольных вопросов к лекциям, и решении задач практических домашних заданий (далее просто ДЗ). Чтение указанных разделов базового учебника обязательно. Число ДЗ равно числу семинаров и лекций. Каждая лекция, семинар и ДЗ соответствует определённой теме. ДЗ выдаётся студентам по электронной почте или другим официальным каналам информации после лекции или семинара по соответствующей теме в качестве задания для самостоятельной работы. Все задачи, включённые в ДЗ, обязательны для решения. Преподаватель, ведущий семинарские занятия, имеет право рекомендовать студентам дополнительные задачи. Задачи дополнительные к основным решать рекомендуется, но они не обязательны. На выполнение каждого ДЗ даётся от 3 до 11 полных календарных дней, не считая день выдачи задания и день проведения мини-контрольной работы по данному заданию. Выполнение студентами практического домашнего задания и освоение теоретического материала, изложенного на лекции и в учебнике, проверяется с помощью мини-контрольной работы (МКР), проводимой в начале семинара. МКР проводятся в формате closed-book. Использование каких-либо записей, книг, прочих внешних источников информации, а также любых электронных устройств, включая калькуляторы, запрещается. Преподаватели, ведущие семинары, заранее составляют и распечатывают варианты заданий, раздают и собирают их. Учебные ассистенты забирают работы у преподавателей, проверяют, а потом возвращают. Преподаватели хранят все МКР своих групп до окончания дисциплины. МКР любого семинара, кроме МКР первого семинара полугодия, состоит из одной задачи, аналогичной или идентичной задачам ДЗ по теме предыдущего семинара, или одного контрольного вопроса по теме текущего семинара. Формулировки вопросов и задач в МКР могут отличаться от формулировок в списке и ДЗ, так как семинаристы могут их упрощать, сокращать, переформулировать, варьировать коэффициенты, члены формул и логические условия. Задание МКР первого семинара состоит из теоретического вопроса. Студент, пропустивший МКР, вне зависимости от причины пропуска не имеет возможности написать пропущенную МКР в другое время. После объявления оценок за МКР в течение следующих трёх дней студенты имеют право отправить проверяющему вопросы по проверке МКР. Проверяющий кратко, по существу и только один раз отвечает студенту на это сообщение, объясняя свою оценку. Спорить, вести дискуссии, что-либо предлагать, требовать или контактировать как-либо иначе студентам и учебным ассистентам запрещается. В случае разногласий с студента с учебным ассистентом, ассистент пересылает вопрос и свой ответ преподавателю, ведущему семинары, и он принимает окончательное решение об оценке МКР. Если в течение трёх дней оценка за МКР не была оспорена, то она становится окончательной и не может быть изменена. После того как все оценки за отдельные МКР стали окончательными, вычисляется среднее арифметическое всех оценок за МКР. Среднее оценок за МКР округляется арифметическим способом до тысячных. Во взвешенную сумму, определяющую итоговую оценку по дисциплине, среднее оценок за МКР входит с весом 0,29.
Экзаменационная контрольная работа
Промежуточный контроль по дисциплине проводится один раз в форме письменного экзамена в конце второго модуля. Экзамен проводится синхронно, в формате closed-book. Экзамен проводится офлайн. Использование каких-либо записей, книг, прочих внешних источников информации, а также любых электронных устройств, включая калькуляторы, во время экзамена в любом формате его проведения запрещается. Конкретные правила экзамена определяются отдельным документом, составляемым лектором вместе с преподавателями, ведущими семинарские занятия, и рассылаемым студентам по официальным канала связи в течение пяти дней после последнего семинарского занятия. Экзаменационное задание составляется из задач, аналогичных задачам домашних зданий, и теоретических вопросов, выбранных из списков контрольных вопросов, рассылаемых студентам после каждой лекции. Пример экзаменационного задания приведён в Разделе IV Программы дисциплины. Экзаменационное задание может отличаться от образца количеством и тематикой задач и теоретических вопросов. Лектор с согласия преподавателей, ведущих семинары, вправе освободить от прохождения экзамена некоторых студентов курса, в результатах экзаменов которых он не сомневается, с выставлением им оценки по дисциплине, соответствующей накопленной оценке без учёта веса экзамена. При округлении используется арифметическое правило. Лектор объявляет такое решение не позднее последнего семинара. Для объявления оценок могут быть использованы официальные каналы передачи информации, используемые в процессе обучения. По своему желанию студенты имеют право отказаться от выставления оценки без проведения экзамена и сдать его. Чтобы воспользоваться этим правом, студенты обязаны строго в указанный лектором срок официально сообщить своему преподавателю о своём отказе от автоматического итога. Студенты, не подавшие в установленный лектором срок заявления об отказе, считаются согласившимися со своей оценкой и, соответственно, утрачивают право сдавать экзамен. На экзамен такие студенты не допускаются. После показа работ оценка за экзамен становится окончательной. Участие в показе работ не является обязательным.

Промежуточная аттестация

2026/2027 2nd module
0.6 * Экзаменационная контрольная работа + 0.29 * Мини-контрольные работы (МКР) + 0.11 * Аудиторная работа

Список литературы

Авторы

Колотвина Оксана Альбертовна
Субочев Андрей Николаевич

Программа дисциплины