Введение в алгебраическую топологию

2026/2027

ID 1255524

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 1, 2 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Казарян Максим Эдуардович

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 60

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Одна из наиболее ярких черт, отличающих математику XX века от всей предшествую- щей — появление и развитие алгебраической топологии. В настоящее время использование алгебро-топологического инструментария стало непременным атрибутом значительной части математических исследований. Сочетание геометрических идей с формализованными алгебраическими алгоритмами для вычисления топологических инвариантов привели к эффективному средству изучения многих математических структур, в том числе, и не связанных напрямую с топологией. Эта область математики породила, например, такие направления как гомологическая алгебра и теория алгебр Хопфа. В кур- се предлагается значительное количество задач на вычисление алгебро-топологических характеристик различных топологических пространств. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ПОДГОТОВКА: первый год бакалавриата (стандартные курсы алгебры, анализа, геометрии, комбинаторики и топологии)

Цель освоения дисциплины

Целью курса является знакомство с базовыми понятиями топологии: симплициальные комплексы, симплициальные отображения, пути, гомотопии путей, фундаментальная группа, накрытия, цепные комплексы векторных пространств, гомологии, когомологии, двойственность Пуанкаре.

Планируемые результаты обучения

Освоение метода диаграммного поиска для доказательства точности последовательности. Умение применять длинную точную последовательность для вычисления гомологий конкретных пространств
Освоение понятия гомотопической эквивалентности
Получение навыка вычисления гомологий цепных комплексов
Умение выбрать подходящую модель теории гомологий для решения конкретных задач
Умение вычисления индекса пересечений подмногообразий, заданных конкретными уравнениями
Умение определения ориентации пересекаемых циклов. Вычисление колец когомологий простейших пространств: проективных пространств, произведений сфер и надстроек
Умение применения методов дифференциальной геометрии для решения топологических задач
Умение применения функций Морса для исследования топологии конкретных пространств.
Умения вычисления симплициальных гомологий простейших пространств: окружности, тора, симплекса и сферы