Функциональный интеграл: Стохастические процессы и основы квантовой механики

2026/2027

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 1, 2 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Семенов Андрей Георгиевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 60

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

"Одним из мощнейших методов современной теоретической физики является метод функционального интегрирования или, интегрирования по траекториям. Основы данного подхода были заложены Н. Винером ещё в начале XX века, однако наибольшую известность он получил после того, как Р. Фейнман применил данный подход в квантовой механике. В настоящее время функциональный интеграл нашел своё применение в теории случайных процессов, физике полимеров, квантовой и статистической механике и даже в финансовой математике. Несмотря на то, что в ряде случаев его применимость математически строго пока не доказана, данный метод позволяет с удивительным изяществом получать точные и приближённые решения различных интересных задач. Курс посвящён основам данного подхода и его приложениям к теории случайных процессов и квантовой механике. В первой части курса на примере стохастических дифференциальных уравнений будут рассказаны основные идеи данного подхода, а так же различные способы точного и приближённого вычисления функциональных интегралов. Далее в рамках курса будут рассмотрены основные идеи квантовой механики, причем будет рассмотрен как операторный подход, так и подход с использованием функционального интегрирования. Будет продемонстрировано, что с точки зрения формализма описание случайных процессов и описание квантовомеханических систем весьма похоже. Это позволит сделать ряд интересных наблюдений, таких как, например, аналогию между суперсимметричной квантовой механикой и диффузией частицы во внешнем потенциале. В заключительной части курса, в зависимости от интересов аудитории, будет рассказано о различных применениях метода функционального интегрирования, таких как физика полимеров, финансовая математика и др. При наличии времени будет дан обзор более продвинутых сюжетов в данной области, в том числе, интегрирование по грассмановым переменным, вычисление функциональных детерминантов операторов и др."

Цель освоения дисциплины

Формирование у обучающихся глубоких представлений о методах функционального интегрирования и интеграции по траекториям, широко используемых в современной теоретической физике и смежных областях науки. Обучающиеся освоят основы метода, начиная с исторических аспектов развития и фундаментальных идей, предложенных Н. Винером и развитых Р. Фейнманом, вплоть до современных приложений в теориях случайных процессов, полимерах, квантовой и статистической механике, включая финансовую математику

Планируемые результаты обучения

На примере стохастических дифференциальных уравнений cлушатели узнают основные идеи данного подхода, а также различные способы точного и приближённого вычисления функциональных интегралов, о различных применениях данного подхода, таких как физика полимеров, квантовая механика, финансовая математика и др.

Содержание учебной дисциплины

Стохастические дифференциальные уравнения и случайные процессы. Производящий функционал. Марковский (дельта-коррелированный) и Гауссов случайные процессы.
Вероятность перехода и ее представление в виде функционального интеграла. Вычисление простейших функциональных интегралов.
Вывод уравнения Фоккера – Планка. Некоторые свойства его решений.
Гауссовы функциональные интегралы и теорема Гельфанда-Яглома.
Приближенное вычисление некоторых функциональных интегралов.
Основные идеи квантовой механики. Интеграл по траекториям и амплитуда перехода.
Операторный подход в квантовой механике. Гильбертово пространство состояний и канонические коммутационные соотношения.
Эволюция состояний в квантовой теории и уравнение Шредингера. Собственные состояния Гамильтониана.
Наблюдаемые в квантовой теории. Процедура измерения и редукция состояний.
Вывод представления для амплитуды перехода квантовомеханической частицы в виде функционального интеграла из операторного подхода.
Операторный подход в теории случайных процессов. Упорядочение операторов. Символ оператора.
Сходство и различие между уравнениями Фоккера-Планка и Шредингера. Суперсимметричная квантовая механика.
Приближенные методы квантовой механики. Формула Ван-Флека и ее интерпретация в терминах классической механики.
Применение функционального интеграла в финансовой математике и машинном обучении. Дальнейшее развитие идей.

Элементы контроля

Домашняя контрольная работа
По всем домашним контрольным в семестре выставляется средняя оценка
Экзамен

Промежуточная аттестация

2026/2027 2nd module
0.3 * Экзамен + 0.7 * Домашняя контрольная работа

Список литературы

Авторы

Семенов Андрей Георгиевич

Программа дисциплины