2026/2027
Теория Галуа
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
1, 2 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Преподаватели:
Городенцев Алексей Львович
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
60
Программа дисциплины
Аннотация
Теория Галуа изучает связь между алгебраическими расширениями полей и группами их симметрий. Она является исторической прародительницей значительной части современной алгебры (группы, коммутативные кольца и поля, линейная алгебра) и фундаментальной идеи использования групп симметрий для классификации и описания свойств объектов в самых разных математических теориях (Эрлангенская программа Ф.~Клейна в геометрии, дифференциальная теория Галуа в анализе \итп). Теория Галуа является ключевым инструментом в современной теории чисел, алгебраической и диофантовой геометрии. Предлагаемый курс является доступным для второкурсников и продвинутых первокурсников введением в классическую теорию Галуа и служит идейным пререквизитом к более продвинутым курсам по всем перечисленным выше областям.
Цель освоения дисциплины
- Знакомство с основами теории расширений коммутативных колец и полей: свойствами целых, алгебраических и трансцендентных элементов, а также строением конечно порождённых алгебр над полями.
- Изучение основ теории полей: башни примитивных расширений, продолжение гомоморфизмов на алгебраические расширения, сепарабельность, нормальность, теорема о примитивном элементе, поля разложения, алгебраические, сепарабельные и нормальные замыкания, композиты, группа автоморфизмов поля над подполем и поле её инвариантов.
- Знание свойств расширений Галуа и соответствия Галуа между подполями таких расширений и подгруппами в из группах Галуа.
- Освоение техники вычисления групп Галуа многочленов.
- Знание групп Галуа и соответствия Галуа для круговых полей и циклических расширений, а также элементов теории Куммера, и арифметических приложений этой техники.
- Приложение теории Галуа к анализу разрешимости задач на построение циркулем и линейкой.
- Приложение теории Галуа к анализу разрешимости полиномиальных уравнений в радикалах.
Планируемые результаты обучения
- Знакомство с основами теории расширений коммутативных колец и полей: свойствами целых, алгебраических и трансцендентных элементов, а также строением конечно порождённых алгебр над полями.
- Знание основ теории полей: башни примитивных расширений, продолжение гомоморфизмов на алгебраические расширения, сепарабельность, нормальность, теорема о примитивном элементе, поля разложения, алгебраические, сепарабельные и нормальные замыкания, композиты, группа автоморфизмов поля над подполем и поле её инвариантов.
- Знание свойств расширений Галуа и соответствия Галуа между подполями таких расширений и подгруппами в из группах Галуа.
- Знание свойств нормальных расширений и критериев нормальности, построение нормального замыкания.
- Освоение техники вычисления групп Галуа многочленов.
- Знание групп Галуа и соответствия Галуа для круговых полей и циклических расширений, а также элементов теории Куммера, и арифметических приложений этой техники.
- Приложение теории Галуа к анализу разрешимости задач на построение циркулем и линейкой.
- Приложение теории Галуа к анализу разрешимости полиномиальных уравнений в радикалах.
Содержание учебной дисциплины
- Расширения коммутативных колец и полей. Целые и алгебраические элементы.
- Конечные расширения полей. Сепарабельность. Примитивные элементы.
- Продолжение гомоморфизмов на расширения. Поле разложения. Алгебраическое замыкание.
- Нормальные расширения и нормальное замыкание.
- Автоморфизмы полей и соответствие Галуа.
- Группы Галуа.
- Некоторые приложения теории Галуа (насколько хватит сил и времени).
Промежуточная аттестация
- 2026/2027 2nd moduleИтоговая оценка вычисляется по формуле min(150,L+E)/15, где L - доля решённых в течение семестра задач для самостоятельного решения, а E - доля задач, решённых решённых на итоговом письменном экзамене, вычисленные в процентах от общего числа заданных в каждом из видов обязательных задач по формуле: 100(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число заданных обязательных задач). Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно набрать по 75 баллов в каждом из двух видов программы, или каким-то другим способом набрать в сумме 150 баллов. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).
