Магистратура 2026/2027

Численные методы и математическое моделирование

ID 1241712

Статус: Курс обязательный (Системный анализ и математические технологии)

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Лубашевский Игорь Алексеевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 56

Программа дисциплины

Аннотация

Формирование у студентов практических компетенций в области численных методов с акцентом на прикладное использование, а не на формальное доказательство теорем. Особое внимание уделяется анализу методов по трём ключевым критериям: точность, устойчивость и сходимость. Дисциплина ориентирована на пользователя, который должен уметь выбирать подходящий метод, корректно его применять и интерпретировать результаты. Особое внимание уделяется анализу численных методов на точность, устойчивость и сходимость. Темы включают конечномерные линейные задачи оптимизации с непрерывными и дискретными переменными, чувствительность и двойственность, основные элементы выпуклого анализа, условия оптимальности первого и второго порядка для нелинейных задач оптимизации и обсуждение важных алгоритмических и вычислительных аспектов, связанных с оптимизацией.

Цель освоения дисциплины

• Формирование у студентов системных знаний в области численных методов и математического моделирования, а также практических навыков построения, исследования и компьютерной реализации математических моделей прикладных задач. Курс направлен на освоение методов численного решения алгебраических и дифференциальных уравнений, задач оптимизации, интерполяции и аппроксимации, а также методов моделирования детерминированных и стохастических систем.

Планируемые результаты обучения

• Ознакомление с задачами, возможностями и ограничениям численных экспериментов
• Студенты ознакомятся с основными подходами к численному решению нелинейных уравнений, понятия сходимости, точности и устойчивости вычислительных методов, а также с принципами работы методов половинного деления, простой итерации, Ньютона и секущих. Студенты приобретут навык применения этих методов к исследованию математических моделей.
• Студенты ознакомятся с основными методами решения СЛАУ, принципами работы прямых и итерационных алгоритмов; методом Гаусса и LU-разложением для решения систем линейных уравнений; итерационными методами Якоби, Гаусса—Зейделя и релаксации; научатся выбирать подходящий численный метод решения СЛАУ в зависимости от свойств задачи и оценивать точность и эффективность полученных решений при использовании методов вычислительной математики.
• Студенты изучат основные методы интерполяции, аппроксимации и сглаживания экспериментальных данных, принципы построения интерполяционных полиномов Лагранжа и Ньютона, метод наименьших квадратов и фильтра Савицкого—Голея. Студенты научатся выбирать подходящий метод обработки данных в зависимости от поставленной задачи, оценивать качество полученных результатов и применять изученные методы при математическом моделировании и анализе экспериментальных данных.
• Студенты ознакомятся с основными методами одномерной и многомерной оптимизации, принципами работы градиентных методов и критериями оценки качества получаемых решений. Они смогут выбирать подходящий численный метод, применять его для поиска оптимального решения и оценивать точность и сходимость полученных результатов.
• Студенты ознакомятся с основными методами численного дифференцирования и интегрирования, принципами построения формул Ньютона—Котеса и методом Симпсона, а также основными источниками погрешности. Они должны уметь выбирать и применять подходящий численный метод, оценивать точность полученных результатов и использовать изученные методы при обработке данных и решении задач математического моделирования.
• Студенты освоят основные численные методы решения начальных задач для ОДУ, их характеристики, условия устойчивости и особенности применения к жёстким системам. Они сумеют выбирать подходящий метод и шаг интегрирования, применять методы Эйлера, Рунге—Кутты и многошаговые методы, оценивать точность и устойчивость полученного численного решения.
• Студенты освоят особенности краевых задач, смогут выбирать численный метод и строить простейшие конечно-разностные схемы, а также применять методы стрельбы и конечных разностей и оценивать точность решения.
• Студент смогут строить и анализировать простейшие разностные схемы для уравнений математической физики, определять условия их устойчивости и оценивать сходимость численного решения.
• Студент умеет переходить от описания прикладного процесса к математической модели, определять основные переменные и параметры модели и анализировать её основные свойства.
• Студент cумеет реализовывать базовые численные алгоритмы с использованием современных программных средств, проводить вычислительный эксперимент, визуализировать и интерпретировать результаты.
• Студент поймен основные принципы стохастического моделирования, сумеет применять методы Монте-Карло и моделировать простейшие случайные процессы, а также оценивать точность и интерпретировать результаты вычислительного эксперимента.

Содержание учебной дисциплины

• Введение в вычислительную математику и математическое моделирование. Роль вычислительного эксперимента и его отличие от натурального эксперимента
• Решение нелинейных уравнений. Методы половинного деления, простой итерации, Ньютона и секущих.
• Решение систем линейных алгебраических уравнений. Прямые методы (Гаусса, LU-разложение). Итерационные методы решения СЛАУ. Методы Якоби, Гаусса—Зейделя, релаксации.
• Интерполяция и аппроксимация функций. Полиномы Лагранжа и Ньютона. Метод наименьших квадратов. Интерполяция, аппроксимация и сглаживание экспериментальных данных, фильтр Савицкого — Голея. Дискретное и быстрое преобразование Фурье. Идея метода вейвлетов.
• Решение задач оптимизации. Одномерная и многомерная оптимизация. Градиентные методы.
• Начальные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Методы Эйлера и Рунге—Кутты. Многошаговые методы решения ОДУ. Жесткие системы и вопросы устойчивости.
• Численные методы решения краевых задач
• Конечно-разностные методы для уравнений математической физики
• Методы моделирования стохастических систем
• Численное дифференцирование и численное интегрирование. Формулы Ньютона—Котеса. Метод Симпсона.
• Основы математического моделирования физических процессов
• Компьютерная реализация численных методов и вычислительный эксперимент

Элементы контроля

• Активность студентов на семинарах и выполнении заданий
  Является суммарным по 1-му модулю
• Активность студентов на семинарах и выполнении заданий
• Экзамен

Промежуточная аттестация

• 2026/2027 2nd module
  0.25 * Активность студентов на семинарах и выполнении заданий + 0.5 * Экзамен + 0.25 * Активность студентов на семинарах и выполнении заданий

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Задачи и упражнения по численным методам : учеб. пособие, Самарский, А. А., 2007
• Математическое моделирование : идеи, методы, примеры, Самарский, А. А., 2005
• Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры, монография, 2-е изд., испр., 320 с., Самарский, А. А., Михайлов, А. П., 2002
• Случайные процессы : учебное пособие, Шалимов, А. С., 2024
• Случайные процессы в примерах и задачах, Миллер Б.М., Панков А.Р., 2001
• Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики, Ермаков, С. М., 1984
• Теория разностных схем, Самарский, А. А., 1977
• Уравнения математической физики, учебник, Московский гос. ун-т им. М. В. Ломоносова, 7-е изд., 798 с., Тихонов, А. Н., Самарский, А. А., 2004
• Численные методы : учеб. пособие для вузов, Калиткин, Н. Н., 2011
• Численные методы математической физики : учеб. пособие, Самарский, А. А., 2003
• Численные методы, Самарский, А. А., 1989

Рекомендуемая дополнительная литература

• Введение в численные методы : учеб. пособие для вузов, Самарский, А. А., 1987
• Устойчивость разностных схем, Самарский, А. А., 1973
• Численные методы решения обратных задач математической физики, Самарский, А. А., 2014

Авторы

• Жукова Лилия Фаилевна
• Лубашевский Игорь Алексеевич
• Воронцова Татьяна Дмитриевна