Математический анализ 1

Бакалавриат 2026/2027

Статус: Курс по выбору (Экономика)

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Язык: русский

Кредиты: 9

Контактные часы: 110

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Дисциплина «Математический анализ 1» предназначена для студентов 1-го курса бакалавриата, обучающихся по направлению 38.03.01 «Экономика», образовательная программа «Экономика». Формат изучения дисциплины - без использования онлайн курса. При изучении дисциплины студенты познакомятся с базовыми положениями и методами теории пределов и непрерывных функций, дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных. Материал курса иллюстрирован экономическими примерами. Основные положения дисциплины «Математический анализ 1» используются при изучении следующих дисциплин: «Математика для экономистов», «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Эконометрика», «Дифференциальные и разностные уравнения».

Цель освоения дисциплины

Добиться усвоения студентами теоретических основ, базовых результатов и теорем математического анализа, а также основных математических приемов и правил формального анализа и решения различных математических задач на основе полученных теоретических знаний.
Подготовить слушателей к чтению современных текстов по экономической теории, использующих модели и методы многомерного математического анализа.
Обеспечить запросы других разделов математики, использующих возникающие в математическом анализе конструкции.
Научить слушателей давать оценку предельного поведения различных функций.
Продемонстрировать возможность исследования зависимости экстремумов от параметров.
Выработать у слушателей навыки решения типовых задач, способствующих усвоению основных понятий, а также задач, способствующих развитию начальных навыков научного исследования.
Развить умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений.

Планируемые результаты обучения

Студент вычисляет пределы функций и последовательностей.
Студент вычисляет пределы функций нескольких переменных и приобретает навыки использования свойств непрерывных функций нескольких переменных.
Студент вычисляет частные производные высших порядков, устанавливает достаточные условия экстремума, приобретает навыки использования формулы Тейлора для функций нескольких переменных.
Студент классифицирует числовые множества и функции и выполняет основные операции над ними.
Студент классифицирует подмножества R^n и функции нескольких переменных и выполняет основные операции над ними.
Студент демонстрирует навыки использования свойств непрерывных функций.
Студент формулирует определение непрерывности функции в точке; распознает типы точек разрыва функции; формулирует свойства функций, непрерывных в точке; формулирует определение непрерывности функции на промежутке; формулирует теоремы о свойствах функций, непрерывных на отрезке.
Студент формулирует определение производной функции в точке, ее геометрический, физический и экономический смысл; воспроизводит и применяет правила дифференцирования функций; применяет основные приемы вычисления производных функций, заданных неявно и заданных параметрически.
Студент формулирует определение производных высших порядков.
Студент воспроизводит формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа; воспроизводит таблицу разложений по формуле Маклорена некоторых элементарных функций и использует ее на практике.
Студент проводит полное исследование элементарных функций и строит их графики.
Студент формулирует определение функции нескольких переменных, формулирует определение линий уровня функции двух переменных и строит их на практике.
Студент формулирует определение частных производных высших порядков функций нескольких переменных; воспроизводит достаточные условия экстремума; воспроизводит формулу Тейлора для функций нескольких переменных.
Студент воспроизводит теорему о существовании неявно заданной функции, теорему о локальной гладкой обратимости функции.
Студент формулирует определение условного экстремума функции нескольких переменных.
Студент использует метод множителей Лагранжа для нахождения условного экстремума.
Студент формулирует определение однородной функции; воспроизводит теорему Эйлера об однородных функциях и теорему об однородности частных производных однородной функции.
Студент формулирует определения строго выпуклой и строго вогнутой функций нескольких переменных.
Студент воспроизводит достаточные условия строго выпуклой, строго вогнутой функций нескольких переменных.
Студент исследует на глобальные экстремумы строго выпуклые и строго вогнутые функции.
Студент находит наибольшее и наименьшее значения непрерывной на компакте функции нескольких переменных.
Студент формулирует определение функции, различает способы задания функции, воспроизводит теоремы об основных свойствах функций.
Студент формулирует определения предела последовательности и предела функции, теоремы о их основных свойствах; различает типы неопределенностей, возникающие при вычислении пределов, и использует основные приемы их раскрытия; формулирует теоремы о первом и втором замечательных пределах, следствия из них.
Студент вычисляет производные высших порядков.
Студент формулирует определения локальных экстремумов функций нескольких переменных, стационарных точек функции; воспроизводит теорему о необходимом условии экстремума функций нескольких переменных.
Студент дифференцирует функции нескольких переменных, устанавливает для них необходимое условие экстремума.
Студент использует частные производные первого порядка для нахождения дифференциала, градиента функции, производной по направлению и частных эластичностей функций нескольких переменных.
Студент устанавливает существование неявно заданной функции и вычисляет ее частные производные, решает задачу о локальной гладкой обратимости функции.
Студент исследует неявно заданную функцию на локальные экстремумы.
Студент анализирует выпуклость неявно заданной функции в некоторой окрестности заданной точки.
Студент решает задачи на условный экстремум, исследует зависимость экстремумов от параметров при помощи теоремы об огибающей.
Студент исследует функцию на однородность с помощью определения и с помощью теоремы Эйлера, находит степень однородности однородной функции.
Студент формулирует необходимое и достаточные условия экстремума функций одной переменной и использует их при решении задач.
Студент формулирует определения частных производных первого порядка; определения полного и частных дифференциалов функции нескольких переменных; определение производной по направлению; определение градиента функции и его свойства; определения частных эластичностей функций нескольких переменных.
Студент формулирует определения дифференцируемости и дифференциала функции одной переменной; формулирует теоремы о дифференцируемых функциях (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши); формулирует и применяет правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 0/0 и бесконечность/бесконечность.
Студент формулирует определения выпуклой (строго выпуклой) и вогнутой (строго вогнутой) функций; исследует функции одной переменной на строгую выпуклость и строгую вогнутость.

Содержание учебной дисциплины

Множества и функции.
Пределы последовательностей и функций.
Непрерывность функций.
Производная. Дифференцируемые функции и их свойства.
Производные высших порядков и их применение.
Исследование функций. Графики функций.
Множество R^n и его подмножества. Скалярные и векторные функции.
Пределы и непрерывность функций нескольких переменных.
Частные производные и их применение. Необходимое условие экстремума.
Частные производные высших порядков и их применение. Формула Тейлора. Достаточное условие экстремума.
Неявно заданные отображения.
Условный экстремум. Зависимость экстремумов от параметров. Теорема об огибающей.
Однородные функции.

Элементы контроля

Тест 1 на знание теоретического материала 1-го модуля
Мини-контрольные работы 1-го модуля
Мини-контрольные работы 2-го модуля
Тест 2 на знание теоретического материала 2-го модуля
Контрольная работа
Экзамен

Промежуточная аттестация

2026/2027 2nd module
0.2 * Контрольная работа + 0.4 * Экзамен + 0.15 * Мини-контрольные работы 1-го модуля + 0.15 * Мини-контрольные работы 2-го модуля + 0.05 * Тест 1 на знание теоретического материала 1-го модуля + 0.05 * Тест 2 на знание теоретического материала 2-го модуля

Список литературы

Авторы

Колотвина Оксана Альбертовна
Хабина Элла Львовна

Программа дисциплины