Бакалавриат 2026/2027

Математический анализ 1 (углублённый курс)

Статус: Курс по выбору (Экономика)

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Язык: русский

Кредиты: 9

Контактные часы: 110

Программа дисциплины

Аннотация

Учебная дисциплина «Математический анализ-1» не требует какой бы то ни было предварительной математической подготовки сверх обычной программы средней школы; начиная со второго модуля требуются многочисленные сведения из курса «Линейная алгебра». В ней последовательно изучаются основы дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных. В частности, рассматриваются методы решения задач о безусловных и условных экстремумах, методы исследования выпуклости или вогнутости функций многих переменных, теорема о неявной функции для векторных систем уравнений, теорема об огибающей. Основные положения дисциплины «Математический анализ-1» используются при изучении следующих дисциплин: «Математический анализ-2», «Математика для экономистов», «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Эконометрика», «Дифференциальные и разностные уравнения».

Цель освоения дисциплины

• Добиться усвоения студентами теоретических основ, базовых результатов и теорем математического анализа, а также основных математических приемов и правил формального анализа и решения различных математических задач на основе полученных теоретических знаний.
• Подготовить слушателей к чтению современных текстов по экономической теории, использующих модели и методы многомерного математического анализа
• Обеспечить запросы других разделов математики, использующих возникающие в математическом анализе конструкции
• Научить слушателей давать оценку предельного поведения различных функций
• Продемонстрировать возможность исследования зависимости экстремумов от параметров
• Выработать у слушателей навыки решения типовых задач, способствующих усвоению основных понятий, а также задач, способствующих развитию начальных навыков научного исследования
• Развить умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений

Планируемые результаты обучения

• Знать связь производной и производной по направлению. Уметь применять производные и дифференциалы высших порядков в различным формах записи формулы Тейлора. Уметь искать безусловные и условные экстремумы функций многих переменных. Уметь применять теорему о неявной функции к векторным уравнениям. Знать теоремы об огибающей для безусловных и условных экстремумов. Уметь использовать различные критерии выпуклости или вогнутости функций.
• Студенты должны знать определение непрерывности функции в данной точке, локальные свойства непрерывных функций (ограниченность, сохранение знака), свойства непрерывных на отрезке функций (теорема Вейерштрасса). Знать о непрерывности результатов арифметических операций и операции образования композиции, примененных к непрерывным функциям, знать о непрерывности элементарных функций. Уметь применять метод интервалов для решения произвольных неравенств.
• Студенты должны знать приложения теоремы об огибающей для экономической интерпретации множителей Лагранжа для некоторых задач экономической теории (теневые цены (shadow price), тождество Роя, лемма Шепарда и другие свойства спроса по Хиксу).
• Студенты должны знать различные критерии компактности множеств в конечномерных пространствах и свойства непрерывных на компакте функций. Знать о компактности образа компактного множества и об аналоге теоремы Вейерштрасса для линейно связных компактах, о замкнутости прообраза замкнутого и открытости прообраза открытого множества при непрерывном отображении, о равномерной непрерывности непрерывных на компакте функций.
• Студенты должны изучить базовое понятие математического анализа - предел функции по данной базе. Знать основные разновидности баз, общие свойства пределов по базе и многое другое, упомянутое в описании раздела.
• Студенты должны получить сведения для продолжения изучения математического анализа. Обозначения для различных числовых множеств. Понятие отображения множеств, образа и прообраза множества при заданном отображении. И еще многие обозначения и понятия, упомянутые в описании раздела.
• Студенты должны уметь использовать векторный и координатный способы записи векторных функций. Знать возможности изображение графика, понятия линии и поверхности уровня числовых функций векторного аргумента. Знать связь предела векторной функции с пределами числовых компонентов данной функции. Уметь применять полярные координаты для вычисления пределов функций двух переменных.
• Студенты должны уметь строить графики функций с учетом исследования промежутков возрастания или убывания и промежутков выпуклости или вогнутости функций. Искать локальные экстремумы и точки перегиба функций. Применять правило Лопиталя и формулу Тейлора для вычисления пределов. Оценивать точность приближения с помощью Формулы Тейлора с остатком в форме Лагранжа.

Содержание учебной дисциплины

• Раздел 1. Пределы числовых функций
• Раздел 1. Пределы числовых функций (окончание)
• Раздел 2. Непрерывные числовые функции
• Раздел 3. Дифференцируемые числовые функции
• Раздел 4. Пределы векторных функций
• Раздел 5. Непрерывные векторные функции
• Раздел 6 Дифференцируемые векторные функции
• Раздел 7. Некоторые приложения многомерного анализа

Элементы контроля

• Квиз 1
  Выполнение домашнего задания, выданного заранее, проверяется на семинарах в форме письменной самостоятельной работы, включающей типы задач и теоретические вопросы из домашнего задания.
• Контрольная работа
  Письменная работа, включающая в себя практические и теоретические задания по пройденным темам.
• Квиз 2
  Выполнение домашнего задания, выданного заранее, проверяется на семинарах в форме письменной самостоятельной работы, включающей типы задач и теоретические вопросы из домашнего задания.
• Аудиторная работа 1
  Активность студентов на семинарах (участие в дискуссии, самостоятельное решение примеров у доски и т.д.)
• Аудиторная работа 2
  Активность студентов на семинарах (участие в дискуссии, самостоятельное решение примеров у доски и т.д.)
• Экзамен

Промежуточная аттестация

• 2026/2027 2nd module
  0.4 * Экзамен + 0.05 * Аудиторная работа 2 + 0.15 * Квиз 2 + 0.15 * Квиз 1 + 0.2 * Контрольная работа + 0.05 * Аудиторная работа 1

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Fundamental methods of mathematical economics, Chiang, A. C., 2005
• Mathematical methods and models for economists, Fuente de la, A., 2000
• Бурмистрова, Е. Б.  Линейная алгебра : учебник и практикум для академического бакалавриата / Е. Б. Бурмистрова, С. Г. Лобанов. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 421 с. — (Бакалавр. Академический курс). — ISBN 978-5-9916-3588-2. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/425852 (дата обращения: 28.08.2023).
• Линейная алгебра : учебник и практикум для бакалавров, Бурмистрова, Е. Б., 2014
• Линейная алгебра, дифференциальное исчисление функций одной переменной : учебник для вузов, Бурмистрова, Е. Б., 2010
• Математический анализ и дифференциальные уравнения : учебник для вузов, Бурмистрова, Е. Б., 2010
• Математический анализ. Т. 1: ., Зорич, В. А., 2015
• Основы математического анализа. Ч.1: ., Фихтенгольц, Г. М., 2002
• Основы математического анализа. Ч.1: ., Фихтенгольц, Г. М., 2006
• Основы математического анализа. Ч.2: ., Фихтенгольц, Г. М., 2002
• Сборник задач и упражнений по математическому анализу : учеб. пособие для вузов, Демидович, Б. П., 2003
• Сборник задач по математике для втузов. Ч.1: Линейная алгебра и основы математического анализа, Болгов, В. А., 1993

Рекомендуемая дополнительная литература

• Mathematics for economists, Simon, C. P., 1994
• Математические методы оптимизации и экономическая теория, Интрилигатор, М., 2002
• Математический анализ. Т. 2: ., Зорич, В. А., 2015
• Основы математического анализа. Ч.1: ., Ильин, В. А., 2002
• Основы математического анализа. Ч.2: ., Ильин, В. А., 2002

Авторы

• Лобанов Сергей Григорьевич
• Федченко Анна Сергеевна