Математический анализ 1

Бакалавриат 2026/2027

Статус: Курс обязательный (Совместная программа по экономике НИУ ВШЭ и РЭШ)

Кто читает: Отдел сопровождения учебного процесса в бакалавриате

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 128

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Курс «Математический анализ – 1» – первый в линейке математических курсов, предлагаемых для студентов совместной программы НИУ ВШЭ и РЭШ. Его содержание является традиционным и может быть разделено на следующие крупные разделы: предел последовательности, предел функции, дифференцирование функций одной переменной, интегрирование функций одной переменной, ряды.

Цель освоения дисциплины

Обучение студентов фундаментальным математическим понятиям
Знакомство студентов с программным обеспечением, позволяющим решать задачи математического анализа
Формирование у студентов математической культуры доказательства утверждений
Предоставление студентам аналитической базы для изучения последующих математических и специализированных курсов

Планируемые результаты обучения

Владеет навыками решения математических задач, аналогичных ранее изученным
Владеет навыками решения типовых задач с применением изучаемого теоретического материала
Знает общие теоремы о необходимых или достаточных условиях безусловногого или условного экстремума, о свойствах суммы функционального ряда, критерии выпуклости или вогнутости функций многих переменных
Знает свойства градиента и матрицы Тейлора векторных функций с числовыми значениями, их место в формуле Тейлора для таких функций
Знает точные формулировки основных понятий, уметь интерпретировать их на простых модельных примерах
Использует свойства интегралов при описании и анализе задач динамики экономики или задач теории вероятностей и статистики
Может применять специальные методы вычисления пределов, производных и интегралов
Может формулировать и доказывать основные результаты этих разделов; представлять математические утверждения и их доказательства
Понимает разделы учебной и научной литературы, связанные с применением пределов, непрерывности и дифференцируемости векторных функций, в том числе, с использованием векторно-матричных обозначений

Содержание учебной дисциплины

Тема 1. Введение. Математическое доказательство Утверждения. Вывод утверждений. Математическая индукция. Доказательство от противного.
Тема 2. Предел последовательности Числовая последовательность. Предельная точка последовательности. Предел последовательности. Арифметические свойства пределов. Предельный переход в неравенствах. Теорема «о двух милиционерах». Ограниченные и неограниченные множества. Верхняя (нижняя) грань, точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Гармонический ряд. Число e.
Тема 3. Предел функции Предел функции по Коши и по Гейне. Эквивалентность двух определений. Арифметические свойства пределов. Композиция функций. Предел сложной функций. Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Тема 4. Непрерывность функции Непрерывность функции в точке и на множестве. Замечательные пределы. Предельная точка множества. Открытые и замкнутые множества на числовой прямой. Компакт. Операции с множествами и их свойства. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теорема о промежуточном значении. Ограниченность функции, непрерывной на отрезке. Достижение точной верхней (нижней) грани функцией, непрерывной на отрезке.
Тема 5. Производная функции Производная функции. Связь дифференцируемости и непрерывности функции в точке. Производная сложной функции. Обратная функция. Производная обратной функции. Табличные производные. Связь значения производной и возрастания (убывания) функции. Локальные и глобальные экстремумы функций одной переменной. Выпуклость графика функции. Точки перегиба. Исследование функций одной переменной. Построение эскизов графиков. Теорема Ролля. Теорема Коши. Теорема Лагранжа.
Тема 6. Правило Лопиталя Раскрытие неопределенностей вида 0 0 и ∞ ∞ при вычислении предела отношения функций. Правило Лопиталя.
Тема 7. Формула Тейлора О-символика. Приближение функции многочленами Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Применение формулы Тейлора к табличным функциям. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора.
Тема 9. Неопределенный интеграл Первообразная. Связь между различными первообразными одной функции. Неопределенный интеграл. Вычисление неопределенных интегралов. Интегрирование по частям. Замена переменной.
Тема 10. Определенный интеграл Интегральные суммы. Определенный интеграл. Корректность определения. Правила вычисления определенного интеграла: арифметические свойства, интегрирование по частям, замена переменной. Интегрируемость и непрерывность. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление площадей фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла.
Тема 11. Числовые и функциональные ряды. Ряд Тейлора Числовой ряд и его частичные суммы. Сходимость. Достаточные условия сходимости. Сумма членов геометрической прогрессии. Функциональный ряд и его частичные суммы. Область сходимости. Ряд Тейлора. Разложения в ряд Тейлора некоторых функций.

Элементы контроля

Домашнее задание
Каждую неделю будет задаваться домашнее задание. Его нужно прорешать, но не требуется сдавать. После истечения срока выполнения домашнего задания в классе проводится самостоятельная работа, на которой дается несколько задач по мотивам задач из соответствующего домашнего задания. Оценка за каждую самостоятельную работу ставится по шкале от 0 до 10. Всего будет 12 домашних заданий и, соответственно, 12 самостоятельных работ. ОДЗ сформируется как среднее арифметическое оценок за лучшие 10 из них. Данный элемент контроля не подлежит пересдаче. Если из-за болезни студент не смог написать 1 или 2 самостоятельную работу, то соответствующие работы не войдут в число лучших 10 работ, за которые будет выставлена оценка. Если по задокументированной уважительной причине студент не смог сдать k>2 домашних работ, то среднее за домашние работы будет вычисляться по 12-k самостоятельных работ.
Коллоквиум 1
оценка за теоретические коллоквиумы (от 0 до 10). Если по задокументированной уважительной причине пропущен первый коллоквиум, то его вес переносится на второй коллоквиум. Если по задокументированной уважительной причине пропущен второй коллоквиум, то его вес переносится на экзамен.
Коллоквиум 2
оценка за теоретические коллоквиумы (от 0 до 10). Если по задокументированной уважительной причине пропущен первый коллоквиум, то его вес переносится на второй коллоквиум. Если по задокументированной уважительной причине пропущен второй коллоквиум, то его вес переносится на экзамен.
Контрольная работа
оценка за контрольную работу в середине курса (от 0 до 10). Если по задокументированной уважительной причине пропущена контрольная работа, то вес соответствующей формы контроля переносится на экзамен.
Финальная контрольная работа
Итоговая оценка за курс выставляется по итогам 2 модуля. В случае удовлетворительной, хорошей или отличной оценки за Экзамен итоговая оценка Оит за курс является взвешенной суммой нескольких слагаемых: Оит = 0,3 Оэкз + 0,15 ОКР + 0,15 Окол1 + 0,15 Окол2 + 0,15 ОДЗ + 0,1 Озан, Если оценка Оэкз < 4, то за курс выставляется неудовлетворительная оценка Оит = Оэкз независимо от остальных полученных оценок. В течение курса на занятиях возможно несколько мини-проверочных работ на 10-15 минут. Такие работы проводятся без предупреждения. Оценки за эти работы учитываются преподавателями при выставлении оценки за работу на занятиях. На контрольной работе, коллоквиумах и экзамене нельзя пользоваться никакими вспомогательными материалами.
Активность на занятиях
оценка за работу на занятиях (от 0 до 10). Выставляется преподавателями, ведущими семинарские занятия, после последнего занятия. Данный элемент контроля не подлежит пересдаче. Никакая причина пропуска занятий не является основанием для изменения оценки за активность на занятиях.

Промежуточная аттестация

2026/2027 2nd module
0.15 * Коллоквиум 1 + 0.3 * Финальная контрольная работа + 0.1 * Активность на занятиях + 0.15 * Коллоквиум 2 + 0.15 * Контрольная работа + 0.075 * Домашнее задание

Список литературы

Авторы

Мальбахова Диса Анзоровна
Антонова Екатерина Сергеевна
Дагаев Дмитрий Александрович

Программа дисциплины