Стохастические модели и методы Монте-Карло

Бакалавриат 2026/2027

ID 1154312

Статус: Курс обязательный (Прикладная математика и информатика)

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 4-й курс, 1, 2 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Неверов Алексей Дмитриевич

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 58

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

В рамках курса «Стохастические модели и методы Монте-Карло» слушатели познакомятся с основами Байесовской статистики, с построением и обучением (оценкой параметров) стохастических моделей. В рамках курса будут рассмотрены методы классического Монте-Карло, такие как выбор с отказами (Rejection Sampling, алгоритм Фон Неймана) и выбор по важности (Importance Sampling) а также методы Монте-Карло Марковскими цепями (MCMC) – алгоритм Метрополиса-Гастингса, метод Гиббса (Gibbbs Sampler) и приближенные Байесовские вычисления (ABC), а так же методы сравнения моделей. Будет рассмотрено применение методов Монте-Карло для решения задачи фильтрации - оценки параметров Скрытых Марковских процессов, фильтр Кальмана и фильтр частиц. В завершение будет рассмотрено применение фильтра частиц для оценки функции правдоподобия скрытого Марковского процесса и алгоритм PMCMC для фильтра частиц. Знания, полученные в рамках курса, могут быть применены для анализа временных рядов данных. В качестве основного примера будет подробно разобрана модель эпидемического процесса COVID-19. Студентам будет предложено реализовать эту модель с помощью библиотеки pymc.

Цель освоения дисциплины

В рамках курса студенты получат знания теоретических основ Байесовской статистики и методов обучения и исследования моделей, познакомятся с пакетом PyMC для стохастического моделирования и с с пакетом программ Beast для построения стохастических Байесовских моделей для популяционно-генетических данных.

Планируемые результаты обучения

Научится описывать данные в виде иерархических смешанных моделей, конструировать функции правдоподобия и априорные распределения на примере анализа временного ряда данных о заболеваемости Covid-19 и ранних образцов генотипов возбудителя SARS-Cov-2.
Изучить основополагающие методы Монте-Карло, используемые для розыгрыша значений из апостериорного распределения параметров моделей и вычисления средних по функции апостериорной плотности вероятности: Монте-Карло Марковским цепями (Markov Chain Monte-Carlo), Выбор по важности (importance sampling) и Последовательный выбор по важности (sequential importance sampling).
Познакомиться с фильтрами - методами оценки скрытых переменных для Марковских процессов - фильтром Калмана и фильтром частиц (particle filter).
Изучить методы сравнения моделей c помощью перекрестной проверки (cross validation): сглаженный по Парето выбор по важности для кросс валидации на отдельных точках (Pareto Smoothed Importance Sampling Leave One out Cross Validation, PSIS-LOO) и аналогичный алгоритм для временных рядов - сглаженный по Парето выбор по важности для кроссвалидации на будущих данных (PSIS Leave Future Out Cross Validation, PSIS-LFO ).
Изучить методы сравнения моделей, основанные на расчете краевой функции правдоподобия и фактора Байеса: методы основанные на выборе по важности, метод выбора с помощью ступенек (stepping stone sampling), метод термодинамического интегрирования или выбор с помощью путей (path-sampling), метод вложенных выборок (nested sampling).

Содержание учебной дисциплины

Отдельные главы теории вероятности I
Отдельные главы теории вероятности II
Стохастические модели в эпидемиологии
Введение в Байесовскую статистику
Введение в Марковские процессы
Введение в методы Монте-Карло
Популяционное моделирование в пакете программ Beast
Моделирование в PyMC
Анализ временных рядов. Фильтры
Вариационные Байесовские методы
Методы вычисления краевой функции правдоподобия
Метод вложенных выборок (nested sampling)
Сравнение моделей с помощью перекрестной проверки

Элементы контроля

Домашнее задание 1
Домашнее задание по основам теории вероятностей выдается после лекций 1 и 2
Домашнее задание 2
Домашнее задание по основам теории Марковских цепей выдается после лекции 4
Практическая работа №1
Студент получает данные и инструкцию с рекомендациями по выполнению задания. Студенту будет необходимо провести анализ данных с помощью ПО Beast 2 и ответить на вопросы
Практическая работа №2
Студент получает данные и инструкцию с рекомендациями по выполнению задания. Студенту будет необходимо провести анализ данных с помощью библиотеки PyMC в Python и ответить на вопросы
Контрольная работа
КР №1 Проводится после лекции 2. КР №2 Проводится после лекции 4. Можно пользоваться любыми материалами в бумажном виде. Использование электронных устройств не допускается
Коллоквиум
Элемент промежуточного контроля. Проводится на занятии в конце первого модуля или в начале второго модуля Состоит из письменной работы (решение задач) и устного ответа на два вопроса по материалам лекций № 1-6 Можно пользоваться любыми материалами в бумажном виде. Использование электронных устройств не допускается
Экзамен
Экзамен проводится в устной форме. Студент получает билет, который включает в себя два вопроса из программы экзамена по материалу лекций 7-11.

Промежуточная аттестация

2026/2027 2nd module
Итоговая складывается из оценки за устный ответ на экзамене по 10-ти балльной шкале с весом ⅓, оценки за коллоквиум по 10-ти балльной шкале с весом ⅓ и оценок за практические работы 1 и 2 с весом ⅙.

Программа дисциплины