Бакалавриат
2026/2027
Предвестники переломных моментов в динамике сложных систем
ID 1142698
Статус:
Курс по выбору (Прикладная математика)
Кто читает:
Департамент прикладной математики
Когда читается:
4-й курс, 3 модуль
Охват аудитории:
для своего кампуса
Язык:
русский
Кредиты:
3
Контактные часы:
40
Программа дисциплины
Аннотация
Для большинства сложных систем, как искусственного так и естественного происхождения, характерно наступления переломных моментов (англ., tipping points) - моментов времени, в окрестности которых зарождаются крупномасштабные и, как правило, необратимые катастрофические изменения. Природа сложных систем в переломных моментах крайне разнообразна: возникновение землетрясений, распространение лесных пожаров, крахи финансовых рынков и зарождение лавин информации в социальных сетях Это далеко не полный перечень явлений, связанных с переломными моментами, и не смотря на все многообразие систем, в которых возможно возникновение переломных моментов, их предвестники идентичны. Своевременная идентификация предвестников приближения к переломному моменту в режиме реального времени позволит, как минимум, минимизировать катастрофические последствия пребывания в переломных моментах или, как максимум, их предотвратить. В данном курсе мы рассмотрим предвестники, основанные на поведении наиболее эффективных пространственно-временных и временных мер раннего обнаружения: от самых простых мер корреляционной теории до мер теории фракталов и теории хаоса. Рассмотрим различие в поведении мер, характерных для бифуркационных переломных моментов, от мер, характерных для переломных моментов, индуцированных шумом. Выделим из этого семейства меры, для которых характерны минимальное количество ложных предвестников и максимальное время для принятия превентивных мер. Рассмотрим поведение мер на уровне стохастической динамики макроскопических параметров системы, например, объём сделок по акциям публичных компаний, число микропостов в онлайновой социальной сети, число заболевших COVID-19). Курс состоит из теоретического материала (лекции) и семинарских занятий (компьютерный практикум в Matlab).
Цель освоения дисциплины
- формирование теоретических знаний по общим методам и подходам к поиску предвестников критических переходов в сложных системах
- выработка умений и практических навыков построения и анализа математических моделей задач поиска предвестников критических переходов в сложных системах различного происхождения
Планируемые результаты обучения
- ознакомление с основными концепциями и подходами к поиску сигналов раннего предупреждения критических переходов в сложных системах
- ознакомление с фундаментальными особенностями динамических рядов, генерируемых сложными системами в режиме реального времени
- овладение основами построения тестовых моделей самоорганизации систем в критическое и бистабильное состояния
- овладение основами вычисления мер корреляционной теории и их применения к поиску предвестников критических переходов
- ознакомление с основами методов вычисления экспоненты Херста и показателя степенного закона для мощности спектральной плотности и их использованию в качестве мер раннего обнаружения критических переходов
- ознакомление с основами метода бестрендового флуктуационного анализа и его применения к оценке экспоненты Херста как меры раннего обнаружения критических переходов
- ознакомление с основами мультифрактального формализма
- ознакомление с основами мультифрактального бестрендового флуктуационного анализа для оценки параметров мультифрактального спектра как мер раннего предупреждения критических переходов
- ознакомление с основами непрерывного вейвлет-преобразования
- ознакомление с основами метода максимумов модулей непрерывного вейвлет-преобразования и его применения для оценки глобальной экспоненты Гельдера и моментов распределения локальных экспонент Гельдера как мер раннего предупреждения критических переходов
- ознакомление с основами дискретного вейвлет преобразования
- ознакомления с основами метода лидеров дискретного вейвлет-преобразования и его применения для оценки логарифмических кумулянтов как мер раннего предупреждения критических переходов
- ознакомление с основами теории хаоса
- ознакомление с основами вычисления мер реконструированного фазового пространства как мер раннего обнаружения критических переходов
Содержание учебной дисциплины
- Предвестники критических переходов: основные концепции и подходы
- Фундаментальные особенности динамических рядов, генерируемых сложными системами в режиме реального времени
- Тестовые модели самоорганизации систем в критическое и бистабильное состояния
- Меры и предвестники критических переходов в нестационарных рядах (I): меры корреляционной теории
- Меры и предвестники критических переходов в стационарных рядах: экспонента Херста и показатель степенного закона для мощности спектральной плотности
- Меры и предвестники критических переходов в нестационарных рядах (II): обобщенная экспонента Херста
- Меры и предвестники критических переходов в нестационарных рядах (III): параметры мультифрактального спектра
- Меры и предвестники критических переходов в нестационарных рядах (IV): глобальная экспонента Гельдра и моменты распределения локальных экспонент Гельдера
- Меры и предвестники критических переходов в нестационарных рядах (V): логарифмические кумулянты
- Меры и предвестники критических переходов в нестационарных рядах (VI): аппроксимционная энтропия, размерность вложения, корреляционная размерность и экспоненты Ляпунова
