2026/2027
Прикладные методы анализа
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
1, 2 модуль
Охват аудитории:
для своего кампуса
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
60
Программа дисциплины
Аннотация
Целью курса является выработка навыков работы с обобщенными функциями, знакомство с асимптотическими методами. В курсе обсуждаются задачи математической физики и связанные с ними уравнения - уравнения теплопроводности, волновое уравнение, уравнение Лапласа (теория потенциала). Знакомство с точно интегрируемыми уравнениями.
Цель освоения дисциплины
- Освоить использование аналитических методов вещейственного и комплексного анализа на примере классических задач математической физики
- Получить представление о простейших интегрируемых уравнениях в частных производных, устройстве их решений, и связи с некоторыми смежными областями
Планируемые результаты обучения
- --
- Умение работать с элементарными обобщёнными функциями: доказывать равенства и использовать различные представления.
- Умение находить гармонические функции простейших двумерных областей, в том числе используя их конформные отображения для построения функции Грина. Способность проверить обоснованность решений в общем виде и их свойства.
- Умение находить и исследовать поведение электростатических потенциалов задаваемыми различными заряженными областями в двумерии.
- Умение обращаться с простейшими спец-функциями линейных УРПЧ: способность доказывать тождества, разложения и реккурентные соотношения на них. Понимание построение этих функций как решений уравнения Гельмгольца.
- Умение находить и исследовать решение и тепловое ядро задачи теплопроводности для различных
- Умение обращаться с определителями дифференциальных операторов и вычислять гармонические моменты простейших областей. Умение обращаться с определителями дифференциальных операторов и вычислять гармонические моменты простейших областей. Умение обращаться с определителями дифференциальных операторов и вычислять гармонические моменты простейших областей.
- Знание о функциях Грина волнового уравнения: умение их находить и использовать для получения решений при различных граничных и начальных условиях. Понимание физического смысла о распространении волн в разных измерениях.
- Знакомство с теорией нелинейных интегрируемых уравнений на примере КдФ. Умение получить его из коммутационного представления дифференциальных операторов. Умение получать решения в виде бегущих волн других дифференциальных уравнений.
- Раздел несёт ознакомительную цель для слушателей, ожидается понимание переходов и возможность повторить некоторые выкладки.
Содержание учебной дисциплины
- Интегралы типа Коши и их граничные значения
- Обобщенные функции
- Гармонические функции
- Теория потенциала
- Цилиндрические и сферические функции
- Уравнение теплопроводности
- Некоторые задачи спектральной геометрии
- Волновое уравнение
- Уравнение Кортевега де Фриза
- Уравнение Кадомцева – Петвиашвили
Промежуточная аттестация
- 2026/2027 2nd module0.25 * Written assignment + 0.25 * Homework + 0.25 * Activity + 0.25 * In-class assignment
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Обобщенные функции и действия над ними, Гельфанд, И. М., 2007
- Уравнения математической физики : учебник для вузов, Владимиров, В. С., 2003
- Уравнения математической физики : учебник, Тихонов, А. Н., 2004
Рекомендуемая дополнительная литература
- Лекции об уравнениях с частными производными, Арнольд, В. И., 2017
- Уравнения математической физики : учеб. пособие для вузов, Тихонов, А. Н., 1977