Бакалавриат 2026/2027

Численные методы

ID 1135896

Статус: Курс обязательный (Компьютерные науки и анализ данных)

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 3-й курс, 1, 2 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Лиджиев Тимур Ратмирович, Тараканов Александр Александрович

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 56

Программа дисциплины

Аннотация

Курс знакомит студентов с современными численными методами, применяемыми в научных вычислениях, анализе данных и машинном обучении. Студенты изучат методы численной линейной алгебры, решения нелинейных уравнений, интерполяции, оптимизации, дискретизации математических моделей, статистического моделирования и решения обратных задач. На практических занятиях студенты будут реализовывать и сравнивать алгоритмы, исследовать их точность, устойчивость и вычислительную эффективность. Курс научит обоснованно выбирать численные методы и применять их для решения прикладных задач.

Цель освоения дисциплины

• Уметь формализовать прикладную задачу и обоснованно выбирать подходящий численный метод.
• Уметь применять прямые и итерационные методы решения систем линейных уравнений, а также методы вычисления собственных значений и собственных векторов.
• Уметь применять и сравнивать численные методы решения нелинейных уравнений и систем.
• Уметь использовать методы интерполяции, численного дифференцирования и интегрирования.
• нать основы проекционных методов, слабых постановок, метода Галёркина и численной дискретизации математических моделей.

Планируемые результаты обучения

• Решает системы линейных уравнений прямыми и итерационными методами, вычисляет собственные значения и собственные векторы матриц.
• Решает нелинейные уравнения и системы, применяет методы интерполяции, численного дифференцирования и интегрирования.
• Применяет методы численной оптимизации, решения ОДУ, дискретизации краевых задач и метод Галёркина.
• Разрабатывает физически-информированные нейронные сети и сравнивает их с классическими численными методами.
• Оценивает интегралы и математические ожидания методами Монте-Карло и квази-Монте-Карло, строит и диагностирует MCMC-алгоритмы.
• Решает обратные задачи, применяет регуляризацию, проводит анализ чувствительности и оценивает неопределённость полученных результатов.

Содержание учебной дисциплины

• Прямые методы численной линейной алгебры**: метод Гаусса, выбор главного элемента, LU- и Cholesky-разложения, QR-разложение, обусловленность и оценка погрешности
• Итерационные методы решения СЛАУ**: методы Якоби и Гаусса–Зейделя, сходимость, спектральный радиус, методы сопряжённых градиентов и GMRES, предобуславливание
• Численные методы решения задач на собственные значения и собственные векторы**: степенной метод, обратная итерация, сдвиг, отношение Рэлея, QR-алгоритм, методы Ланцоша и Арнольди
• Численное решение нелинейных уравнений и систем**: бисекция, метод Ньютона, секущие, многомерный метод Ньютона, квазиньютоновские методы, локальная сходимость
• Интерполяция и приближение функций**: полиномы Лагранжа и Ньютона, разделённые разности, феномен Рунге, сплайны, выбор узлов
• Численное дифференцирование и интегрирование: конечные разности, автоматическое дифференцирование, квадратурные формулы Ньютона–Котеса и Гаусса, адаптивное интегрирование
• Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
• Численная дискретизация краевых задач и уравнений в частных производных
• Численная оптимизация и непрерывная динамика
• Физически-информированные нейронные сети (PINNs)
• Методы Монте-Карло и квази-Монте-Карло
• Цепи Маркова и алгоритм Метрополиса—Гастингса
• Современные MCMC-методы: градиентные и несмещённые алгоритмы
• Обратные задачи, регуляризация и количественная оценка неопределённости

Элементы контроля

• Домашнее задание 1
  Выдается после 2 лекции. Код сдается после 9 лекции. Презентация примерно через неделю после сдачи кода.
• Домашнее задание 2
  Выдается после 9 лекции. Код сдается после 14 лекции. Презентация примерно через неделю после сдачи кода.
• Квиз
  Проводится примерно каждый второй семинар.

Промежуточная аттестация

• 2026/2027 2nd module
  Итог = Округление(0.25 * ДЗ_1 + 0.55 * ДЗ_2 + 0.2 * КВИЗ), где ДЗ_1 — оценка за Домашнюю Работу 1, ДЗ_2 - оценка за Домашнюю Работу 2. Округление арифметическое, КВИЗ - средняя оценка по половине лучших квизов.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Введение в общие цепи Маркова - Зорин А. В., Зорин В. А., Пройдакова Е. В., Федоткин М. А. - Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского - - - 2013 - русский - https://e.lanbook.com/book/153134 - ЛАНЬ - 153134
• Введение в численные методы - Олегин И.П., Красноруцкий Д.А. - Новосибирский государственный технический университет - 978-5-7782-3632-5 - 2018 - русский - https://e.lanbook.com/book/118322 - ЛАНЬ - 118322
• Конечные цепи Маркова, Кемени, Дж., 1970
• Численные методы : учеб. пособие для вузов, Калиткин, Н. Н., 2011
• Численные методы: разностные схемы решения уравнений : учеб. пособие для вузов, Пименов, В. Г., 2017

Рекомендуемая дополнительная литература

• Гулин А.В., Мажорова О.С., Морозова В.А. - Введение в численные методы в задачах и упражнениях - 978-5-16-012876-4 - НИЦ ИНФРА-М - 2022 - https://znanium.ru/catalog/document?id=390201 - 390201 - ZNANIUM

Авторы

• Ахмедова Гюнай Интигам кызы