Математическое моделирование в пространственных задачах

Магистратура 2026/2027

ID 1127443

Статус: Курс обязательный (Пространственные данные и прикладная геоаналитика)

Кто читает: Факультет географии и геоинформационных технологий

Где читается: Факультет географии и геоинформационных технологий

Когда читается: 1-й курс, 2, 3 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Юрова Алла Юрьевна

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 56

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Курс посвящен изучению теоретических основ и практических навыков математического моделирования природных и социально-экономических систем с применением аппарата дифференциальных уравнений. Студенты осваивают полный цикл создания модели: от концептуализации и постановки краевых задач (на примере динамики углерода, популяционной экологии и эволюции рельефа) до численной реализации с использованием конечно-разностных схем и анализа устойчивости по критерию Куранта. Практическая часть курса опирается на использование высокопроизводительной библиотеки FastScape для моделирования эволюции ландшафтов, а также на собственные программные реализации моделей на языке Python (с использованием библиотек NumPy, SciPy, Matplotlib и SALib).Особое внимание уделяется статистической верификации результатов, включая процедуры калибровки по методу наименьших квадратов, независимой валидации и глобальному анализу чувствительности (индексы Соболя), что позволяет оценивать неопределенность прогнозов в задачах геоморфологии, почвоведения и урбанистики.

Цель освоения дисциплины

• Теоретическое обоснование: обучение студентов переводу описательных географических концепций на язык дифференциальных уравнений (баланса массы, энергии).
• Овладение вычислительным аппаратом: развитие навыков дискретизации непрерывных уравнений, программирования численных схем и обеспечения их устойчивости (критерий Куранта).
• Аналитическая подготовка: освоение методов количественной оценки качества моделей, включая калибровку параметров по эмпирическим данным, независимую валидацию и анализ чувствительности сложных геосистем.
• Прогностическая грамотность: формирование критического подхода к результатам моделирования, понимание границ применимости моделей и умение оценивать неопределенность получаемых прогнозов в задачах геоморфологии, почвоведения и урбанистики.

Планируемые результаты обучения

• Знать: теоретические основы построения динамических и пространственных моделей в географии; физический смысл уравнения диффузии и модели Лотки-Вольтерры; условия численной устойчивости; основные метрики оценки качества моделей (RMSE, MAE).
• Уметь: формализовать природные и социально-экономические процессы в виде дифференциальных уравнений; реализовывать численные схемы решения (метод Эйлера, конечные разности) в программной среде; проводить калибровку параметров и независимую валидацию модели на разделенных выборках.
Владеть: навыками численного моделирования эволюции рельефа и почвенных процессов; методами автоматизированного анализа чувствительности (индексы Соболя) с использованием библиотек Python (SALib, SciPy); методами оценки неопределенности и построения доверительных интервалов для прогнозных сценариев.

Содержание учебной дисциплины

Модуль 1. Методология и пирамида навыков моделирования
Модуль 2. Динамические системы и Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)
Модуль 3. Пространственное моделирование: Уравнение диффузии
Модуль 4. Численная реализация и устойчивость
Модуль 5. Оценка качества и статистический анализ моделей
Модуль 6. Анализ чувствительности (Sensitivity Analysis)
Модуль 7. Моделирование урбанизированных систем

Элементы контроля

Практические работы
Итоговый проект по курсу
Письменный экзамен:
• Формат: Письменная работа (90–120 минут). • Структура билета: 1. Один теоретический вопрос (на понимание физики процессов и уравнений). 2. Один аналитический кейс (интерпретация графиков ошибок или результатов анализа чувствительности).

Промежуточная аттестация

2026/2027 3rd module
0.2 * Практические работы + 0.3 * Письменный экзамен: + 0.4 * Итоговый проект по курсу + 0.1 * Практические работы

Список литературы

Авторы

Юрова Алла Юрьевна

Программа дисциплины