Прикладная и вычислительная линейная алгебра

2026/2027

Статус: Майнор

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Факультет экономических наук

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Пионтковский Дмитрий Игоревич

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 120

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Математические и алгоритмические знания и навыки в области линейной алгебры, полученные во втором семестре, служат основой линейных моделей в области анализа больших данных, техники, физики, экономики и др. Изучаются матричные разложения, псевдообратная матрица, линейные методы аппроксимации и интерполяции функций, основы теории нормированных пространств и норм линейных операторов, оценки погрешности в линейной алгебре, разнообразные итерационные методы, функции от матриц, основы символьных вычислений. Курс включает анбоксинг важных прикладных конструкций и методов, линейно-алгебраическое обоснование которых обычно не ясно студентам, таких как линейная регрессия, метод главных компонент, алгоритм PageRank, сплайны Безье и др. В курс входит практика на языке Python.

Цель освоения дисциплины

Огромные массивы данных ежедневно превращаются в прогнозы, модели, в устройства и приложения, окружающие нас. Превращение может начаться с физических или статистических моделей, с задач оптимизации или с дифференциальных уравнений, но как только мы из двух-трехмерного мира элементарных моделей переходим в мультиразмерный мир реальных данных, в итоге задача решается методами линейной алгебры. Суть линейной алгебры проста: это матричные и векторные вычисления. Как их применить для описания сложных явлений? Об этом наш курс. Мы начнем с методов обращения необратимых матриц, поговорим про приближенные и точные решения систем линейных уравнений, разобрав модель линейной регрессии. Обсудим связи линейной алгебры с задачами интерполяции и аппроксимации функций. Самая теоретическая часть курса – теория нормированных пространств, обобщающая естественные способы измерения векторов, матриц и функций. А самая практическая – наверное, теория неотрицательных матриц и способы нахождения их положительных собственных векторов, включая тот собственные вектор, который принес первые миллиарды долларов создателям поисковика Google. Мы коснемся популярного у дизайнеров метода приближения ломаных гладкими кривыми, обсудим классические линейные производственные модели, упомянем один из методов сжатия изображений, встретимся с индексами влияния в социальных сетях, изучим основы символьных алгебраических вычислений. Все темы курса будут сопровождаться компьютерной практикой. Слушатели курса также приглашаются сделать доклад по приложениям линейной алгебры в близким им областям.

Планируемые результаты обучения

Знать основные утверждения и теоремы курса
Уметь решать задачи линейной алгебры, перечисленные в программе курса
Студенты овладеют следующими понятиями, будет уметь решать связанные с ними прикладные и теоретические задачи: Связь задачи приближения матрицы матрицей малого ранга с сингулярным разложением. Основы анализа главных компонент. Регуляризация.
Слушатель изучит свойства псевдообратной матрицы и получит навыки ее применения для быстрого решения систем линейных уравнений, нахождения приближения по методу наименьших квадратов и построения линейной регрессии.
Студенты изучат классический алгоритм PageRank, научатся применять его для вычисления влиятельности в социальных сетях.

Содержание учебной дисциплины

Псевдообратная матрица и метод наименьших квадратов
Матричные разложения
Полиномиальная интерполяция
Метрики и нормы. Матричные нормы
Аппроксимация функций многочленами
Приближение матрицы матрицей малого ранга и идея анализа главных компонент.
Итеративные методы
Проблема собственных значений.
Функции от матриц
Неотрицательные матрицы.
Линейная алгебра и задачи оптимизации
Элементы теории возмущений

Элементы контроля

КР2
Домашняя контрольная работа с последующими устными пояснениями автора работы.
КР1
Домашняя контрольная работа с последующими устными пояснениями автора работы.
Лабораторная работа
Домашняя лабораторная работа, проверяющая навыки программирования и реализации линейно-алгебраических алгоритмов.

Промежуточная аттестация

2026/2027 4th module
Итоговая оценка вычисляется как ИТОГО = 0.7 Теория + 0.3 Практика. В этой формуле Теория = 0.5 (КР1+КР2) + (бонус за активность) + (проект), где КР1, КР2 -- первая и вторая домашние контрольные за теорию, бонус за активность -- 1-2 балла нескольким наиболее активным участникам, проект -- бонусные баллы (до 5) за выступление с презентацией по собственному проекту, Практика -- оценка за практические занятия (на основе оценкок за оба модуля).

Список литературы

Авторы

Пионтковский Дмитрий Игоревич
Колотвина Оксана Альбертовна

Программа дисциплины