Бакалавриат
2026/2027
Дифференциальные уравнения
Статус:
Курс обязательный (Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и ЦПМ)
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
2-й курс, 1, 2 модуль
Охват аудитории:
для своего кампуса
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
76
Программа дисциплины
Аннотация
Курс посвящён основам теории обыкновенных дифференциальных уравнений и включает в себя изучение общей теории ДУ (теоремы существования и единственности, зависимость от параметров), линейных ДУ, устойчивости решений.
Цель освоения дисциплины
- Освоение основных теорем базовых разделов теории дифференциальных уравнений (теорем существования и единственности, теории линейных систем, теория устойчивости)
- Освоение основных методов для явного решения и качественного исследования дифференциальных уравнений
Планируемые результаты обучения
- Знание общих свойств линейных ОДУ (продолжимость решений, независимость решений в точке и в целом, уравнение Лиувилля-Остроградского). Умение применять их для анализа конкретных линейных ОДУ.
- Знание основных свойств операторов Коши и преобразований потока. Умение вычислять их в простейших случаях.
- Знание примеров ОДУ, где отсутствует продолжимость решений на всю область определения правой части
- Знание результатов, связывающих локальное поведение системы и её линеаризации. Умение их применять к анализу конкретных ДУ.
- Знание условий дифференцируемости решения ОДУ по параметрам и началым условиям. Умение применить их к исследованию конкретных семейств ОДУ.
- Знание условий непрерывной зависимости решения ОДУ от параметров и начальных условий. Умение применить их к исследованию конкретных семейств ОДУ.
- Знание условий существования и единственности решения ОДУ. Умение применить их к исследованию конкретных ОДУ.
- Знание утверждений о продолжимости решений ОДУ. Применение их в исследовании конкретных ОДУ.
- Умение анализировать устойчивость неподвижных точек ОДУ с помощью функций Ляпунова и Четаева, а также с помощью линеаризации векторного поля в окрестности особой точки.
- Умение дифференцировать и искать разложения Тейлора решения конкретных ОДУ по параметрам и начальным условиям.
- Умение производить для конкретных ОДУ переход от уравнений высокого порядка к системам, от неавтономных систем к автономным и выполнять простейшие преобразования фазовых координат и времени
- Умение решать линейные ДУ и системы с постоянными коэффициентами, вычислять матричную экспоненту. Умение решать неоднородные линейные ОДУ, в том числе с квазимногочленами в правой части.
- Умение решать ОДУ с разделяющимися переменными. Умение применять различные методы для сведения различных классов ОДУ (однородные уравнения и др.) к уравнениям с разделяющимися переменными.
Содержание учебной дисциплины
- Элементарные свойства ОДУ и систем
- Теорема о существовании и единственности решений ОДУ
- Продолжение решений ОДУ
- Непрерывная зависимость решений ОДУ от параметров и начальных условий
- Оператор Коши и группа потока ОДУ
- Метод разделения переменных
- Гладкая зависимость решений ОДУ от параметров
- Общие свойства линейных ОДУ и их систем
- Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами. Экспонента матрицы
- Локальная теория дифференциальных уравнений вблизи особой точки
- Устойчивость решений дифференциальных уравнений
Элементы контроля
- Контрольная работа №1
- Контрольная работа №2
- Коллоквиум №1
- Коллоквиум №2
- ДЗ 1-го модуля
- ДЗ 2-го модуля
- 5-минутки 1-го модуляМини-контрольные работы на 5-15 минут даются на семинарских занятиях
- 5-минутки 2-го модуляМини-контрольные работы на 5-15 минут даются на семинарских занятиях
- ЛисткиЗадание с вопросами и задачами повышенной сложности, сдается очно преподавателю
Промежуточная аттестация
- 2026/2027 2nd moduleФормула оценки: максимально 12 = 5 (за работу на семинарах, складывается из оценок за 5-минутки и оценок за домашние задания, их ориентировочный вклад 3.5-5(5-мин)+1.5-0(ДЗ) ) + 2 * 1 (контрольные работы) + 2 * 1.5 (коллоквиумы) + 2 (листочки) Если накопленная оценка превышает 10, то оценка за курс - 10. Если накопленная оценка ниже 4, то итоговая оценка за курс - неудовлетворительно В остальных случаях итоговая оценка получается округлением накопленной оценки по обычным правилам.
