Бакалавриат 2026/2027

Анализ на многообразиях

ID 1128756

Статус: Курс обязательный (Математика)

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Басалаев Алексей Андреевич, Вьюгин Илья Владимирович, Гусейн-Заде Сабир Меджидович, Медведев Владимир Олегович, Побережный Владимир Андреевич, Щечкин Антон Игоревич

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 76

Программа дисциплины

Аннотация

Курс посвящён анализу на многообразиях и элементам дифференциальной топологии. Сюда включаются: тензорный анализ на многообразиях, дифференциальные формы и интегрирование, лемма Сарда и трансверсальность, интегрируемость распределний.

Цель освоения дисциплины

• Освоение студентами методов анализа на многообразиях и элементов дифференциальной топологии.

Планируемые результаты обучения

• Умение использовать методы анализа на многообразиях и элементов дифференциальной топологии.

Содержание учебной дисциплины

• Подмногообразия аффинного пространства, многообразия, касательное пространство.
• Векторные поля и однопараметрические группы диффеоморфизмов. Разбиение единицы.
• Риманова метрика, объем. Интеграл первого рода.
• Тензоры на многообразиях. Дифференциальные формы.
• Интегрирование дифференциальных форм. Теорема Стокса.
• Степень отображения.
• Когомологии де Рама. Их гомотопическая инвариантность.
• Лемма Сарда. Трансверсальность.
• Производная Ли тензорных полей.
• Распределения векторных подпространств, интегрируемость распределений (теорема Фробениуса).

Элементы контроля

• Домашние работы
  Домашние работы задаются постоянно, на протяжении всего курса. Домашние работы сдаются только физически (офлайн), написанные от руки. 2-3 раза производится выборочная проверка понимания написанного (в случае отрицательного результата зачёт домашних работ может быть аннулирован).
• Контрольная работа
• Коллоквиум 1
  Коллоквиум 1 проводится после первого модуля
• Коллоквиум 2

Промежуточная аттестация

• 2026/2027 2nd module
  0.4 * Коллоквиум 2 + 0.1 * Домашние работы + 0.3 * Коллоквиум 1 + 0.2 * Контрольная работа

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Математический анализ на многообразиях - Спивак М. - Издательство "Лань" - 5-8114-0646-0 - 2022 - русский - https://e.lanbook.com/book/210152 - ЛАНЬ - 210152
• Современные геометрические структуры и поля - Новиков С.П., Тайманов И.А. - Московский центр непрерывного математического образования - 978-5-94057-102-6 - 2005 - русский - https://e.lanbook.com/book/9379 - ЛАНЬ - 9379

Рекомендуемая дополнительная литература

• Геометрические методы в математической физике. Начала анализа на многообразиях: Конспект лекций - Шильников К. Е. - Национальный исследовательский ядерный университет «Московский инженерно-физический институт» - 978-5-7262-2704-7 - 2020 - русский - https://e.lanbook.com/book/175428 - ЛАНЬ - 175428
• Сандракова, Е. В.  Дифференциальные формы на гладких многообразиях : учебник для вузов / Е. В. Сандракова, Е. В. Сумин. — 2-е изд. — Москва : Издательство Юрайт, 2025. — 138 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-10988-7. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/565616 (дата обращения: 02.07.2026).

Авторы

• Гусейн-Заде Сабир Меджидович