Бакалавриат
2026/2027
Алгебра
Статус:
Курс обязательный (Математика)
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
2-й курс, 1, 2 модуль
Охват аудитории:
для своего кампуса
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
76
Программа дисциплины
Аннотация
Это последняя, третья часть обязательного трёхсеместрового курса алгебры для бакалавриата матфака ВШЭ, продолжающая годовой курс алгебры для студентов первого года обучения. Она посвящена основам теории представлений и её приложениям.
Цель освоения дисциплины
- Овладеть основными понятиями теории линейных представлений множеств операторов, ассоциативных алгебр, конечных групп, а также некоторых алгебр Ли и матричных групп Ли. Приобрести опыт использования методов теории представлений для решения задач из различных разделов математики.
Планируемые результаты обучения
- Знание основных понятий теории представлений: (не)разложимость, (не)приводимость, полупростота. Свойства полупростых модулей. Гомоморфизмы представлений, лемма Шура. Ассоциативная оболочка множества операторов.
- Знание свойств полупростых модулей и критериев полупростоты, теоремы о двойном централизаторе, теоремы Бернсайда, изотипного разложения полупростых модулей и описания изотипных компонент.
- Знание основных понятий теории представлений конечных групп, тензорных операций с представлениями, конструкций проектора на инварианты и инвариантного скалярного произведения. Полная приводимость конечномерных представлений конечной группы.
- Описание конечномерных неприводимых представлений конечной абелевой группы и группы её мультипликативных характеров. Двойственность Понтрягина и преобразование Фурье для конечных абелевых групп.
- Описание строения групповой алгебры конечной группы, её разложения в сумму изотипных идеалов, неприводимых идемпотентов и инвариантного скалярного произведения на группе. Теорема Машке. Преобразование Фурье.
- Ортогональность характеров. Кольцо представлений конечной группы. Техника вычисления характеров, примеры описания колец представлений.
- Описание индуцированных и коиндуцированных представлений. Двойственность Фробениуса.
- Знание основных понятий теории представлений алгебр Ли. Классификация конечномерных представлений алгебры 𝔰𝔩_2
- Иметь представление о классических матричных группах Ли и их алгебрах Ли. Полная приводимость и описание конечномерных представлений групп SU_2 и SO_3(\RR).
Содержание учебной дисциплины
- Представления множеств и ассоциативных алгебр.
- Полупростые представления ассоциативной алгебры.
- Представления конечных групп.
- Представления конечных абелевых групп.
- Групповая алгебра конечной группы.
- Характеры представлений конечных групп.
- Индуцированные и коиндуцированные представления. Двойственность Фробениуса.
- 𝔰𝔩_2-модули
- Представления групп SU_2 и SO_3(\RR).
Элементы контроля
- 2 контрольные работы
- самостоятельное решение задачСамостоятельное решение задач с последующим индивидуальным обсуждением решений с преподавателем
- Оценка за семинарыОценка выставляется преподавателем, ведущим семинары.
- итоговый письменный экзамен
Промежуточная аттестация
- 2026/2027 2nd moduleИтоговая оценка вычисляется по формуле min(300,S+L+K+E)/30, где S - оценка за работу на семинарах, которую по 100-бальной шкале выставляет ведущий семинары преподаватель согласно правилам, которые он сообщит на одном из первых занятий, а L, K, E - процентные доли решённых в течение семестра задач из листков (L), контрольных работ (K) и итогового письменного экзамена (E), вычисленные по формуле: 100(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач). Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно набрать по 75 баллов в каждом из 4-х видов программы, или каким-то другим способом набрать в сумме 300 баллов. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).
