Линейная алгебра и математический анализ

Бакалавриат 2025/2026

Статус: Курс обязательный (Управление бизнесом)

Кто читает: Кафедра высшей математики

Где читается: Общеуниверситетские кафедры

Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Иванцова Наталья Николаевна, Кийков Сергей Ортабаевич, Осиненко Антон Андреевич, Панов Петр Алексеевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 96

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Дисциплина «Линейная алгебра и математический анализ» читается студентам первого курса образовательной программы «Управление бизнесом». В ходе изучения курса решается задача обеспечения широкого, общего и достаточно фундаментального математического образования студентов экономических и управленческих специальностей. Фундаментальность подготовки включает в себя достаточную общность математических понятий и конструкций, обеспечивающую широкий спектр их применимости, разумную точность формулировок математических свойств исследуемых объектов, логическую строгость изложения предмета, опирающуюся на адекватный современный математический язык. Основные положения дисциплины будут использованы в следующих курсах: «Теория вероятности и математическая статистика» и «Бизнес-статистика».

Цель освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Линейная алгебра и математический анализ» являются формирование у слушателей высокой математической культуры, овладение основными знаниями по математике, необходимыми в практической экономической и управленческой деятельности, развитие логического мышления и умения оперировать абстрактными объектами, привитие навыков корректного употребления математических понятий и символов для выражения различных количественных и качественных отношений, ясное понимание математической составляющей в общей подготовке специалиста в области экономики и менеджмента.

Планируемые результаты обучения

знать и уметь использовать математический аппарат для решения прикладных задач экономики и управления;
иметь представление о математическом моделировании простейших экономических проблем и содержательно интерпретировать получаемые количественные результаты их решений;
овладеть навыками самостоятельной работы и постоянно пополнять свой уровень знаний в свете современных тенденций развития математического инструментария для решения экономических задач.
Знать: определение, обозначение и формы записи матрицы; понятие равных матриц; виды матриц; свойства операций над матрицами; определение эквивалентных матриц; определение линейной комбинации строк (столбцов) матрицы; определение линейной зависимости (независимости) строк (столбцов) матрицы.
Уметь: выполнять операции над матрицами (умножение матрицы на число; сложение и вычитание матриц; умножение матриц друг на друга; возведение матрицы в целую положительную степень; транспонирование матрицы); находить многочлен от матрицы; проводить элементарные преобразования матриц; приводить матрицу к ступенчатому виду.
Владеть: навыками применения операций к матрицам, проведения элементарных преобразований строк (столбцов) матриц и приведения матриц к ступенчатому виду.
Знать: определение и обозначение определителей первого, второго, третьего порядков и n-го порядков; правило треугольников для вычисления определителей третьего порядка; свойства определителей; определения минора и алгебраического дополнения элемента квадратной матрицы.
Уметь: вычислять определители второго и третьего порядков; находить минор и алгебраическое дополнение элемента квадратной матрицы; вычислять определитель любого порядка разложением по строкам и столбцам, а также с помощью элементарных преобразований строк и столбцов определителя.
Владеть: методами вычисления определителей любого порядка.
Знать: определения минора k-го порядка произвольной матрицы и базисного минора; определение базисных строк и столбцов, условие их независимости; определение ранга матрицы и его свойства; определение окаймляющего минора.
Уметь: находить базисные миноры матрицы; находить ранг матрицы методом окаймляющих миноров и методом элементарных преобразований.
Владеть: методами вычисления ранга матрицы.
Знать: определения невырожденной, присоединённой матриц и обратной матриц; условия существования и единственности обратной матрицы и её свойства; некоторые виды матричных уравнений, условия существования и единственности решения простейших матричных уравнений.
Уметь: находить обратную матрицу с помощью формулы и с помощью элементарных преобразований; находить решения матричных уравнений.
Владеть: методами нахождения обратной матрицы; навыками решения матричных уравнений.
Знать: определение системы линейных алгебраических уравнений, формы её записи, составляющие системы, виды систем; критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений (теорему Кронекера – Капелли); способ решения квадратной системы линейных алгебраических уравнений с помощью метода обратной матрицы (или матричного метода); способ решения системы линейных алгебраических уравнений с помощью правила Крамера.
Уметь: определять основную и расширенную матрицы системы; представлять систему в матричной форме; применять теорему Кронекера – Капелли при исследовании систем; применять метод обратной матрицы (или матричный метод) для нахождения решения системы; находить решение системы по правилу Крамера.
Владеть: навыками исследования системы линейных алгебраических уравнений на совместность; методом обратной матрицы (или матричным методом) решения системы; навыками решения системы по правилу Крамера.
Знать: способ решения системы линейных алгебраических уравнений с помощью метода Гаусса (знать прямой и обратный ходы Гаусса); определения основных (базисных) и свободных неизвестных, общего и частного решений, базисного решения; способ решения системы линейных алгебраических уравнений с помощью метода Жордана-Гаусса.
Уметь: применять методы Гаусса и Жордана-Гаусса для исследования системы и нахождения её решения.
Владеть: навыками решения системы методами Гаусса и Жордана-Гаусса.
Знать: определение однородной системы линейных алгебраических уравнений и свойства её решений, определение фундаментальной системы решений однородной системы уравнений, теоремы о видах общих решений неоднородной и соответствующей однородной систем уравнений.
Уметь: находить общее решение однородной системы.
Владеть: навыками решения однородной системы линейных алгебраических уравнений.
Знать: определения арифметического вектора, равенства арифметических векторов и линейные операции над ними, арифметического векторного пространства.
Уметь: проводить линейные операции над арифметическими векторами; проверять являются ли различные множества арифметическими пространствами.
Владеть: навыками выполнения линейных операций над арифметическими векторами.
Знать: определение линейного пространства и его свойства; определение линейной комбинации векторов, определение и свойства линейной зависимости и независимость векторов; определение ранга системы векторов и теорему о ранге; определение базиса линейного пространства; определение разложения вектора по базису; преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к другому.
Уметь: проверять принадлежность различных множеств к линейным пространствам; проверять линейную зависимость и независимость векторов; находить ранг системы векторов; выделять векторы, образующие базис; находить координаты вектора в его разложении по базису; находить координаты вектора в другом базисе.
Владеть: навыками проверки принадлежности различных множеств к линейным пространствам; навыками проверки линейной зависимости и независимости векторов; навыками нахождения ранга системы векторов, координат вектора в другом базисе.
Знать: определение евклидова пространства и его свойства, определения длины элемента евклидова пространства, угла между элементами, ортогональности элементов.
Уметь: проверять принадлежность различных множеств к евклидовым пространствам, ортогональность элементов, находить длину элемента, угол между элементами евклидова пространства.
Владеть: навыками проверки принадлежности различных множеств к евклидовым пространствам; навыками проверки ортогональности векторов, нахождения длины вектора и угла между векторами.
Знать: определения собственного вектора и собственного значения матрицы, характеристическое уравнение матрицы и свойства собственных векторов.
Уметь: составлять характеристическое уравнение для вычисления собственных значений и составлять однородные системы уравнений для вычисления собственных векторов; находить собственные значения и собственные векторы матрицы.
Владеть: навыками решения задач на нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы.
Знать: определение квадратичной формы; определения ранга и невырожденности квадратичной формы; канонический вид квадратичной формы; определение знакоопределённости квадратичной формы и критерии для определения её знакоопределённости.
Уметь: представлять квадратичную форму в матричном виде; определять ранг квадратичной формы и проверять на невырожденность; приводить квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа выделения полных квадратов и методом собственных векторов; исследовать на знакоопределённость квадратичную форму.
Владеть: методами приведения квадратичной формы к каноническому виду; методами исследования квадратичной формы на знакоопределённость.
Знать: определения геометрического вектора и его длины, орта вектора, коллинеарности и компланарности векторов; линейные операции над векторами и свойства этих операций, условия коллинеарности и компланарности векторов в векторной форме; определение проекции вектора на ось и её свойства.
Уметь: находить длину вектора, орт вектора, устанавливать коллинеарность и компланарность векторов; выполнять линейные операции над векторами; находить проекцию вектора на ось.
Владеть: навыками нахождения длины вектора, орта вектора, проверки коллинеарности и компланарности векторов, нахождения проекции вектора на ось.
Знать: определения базиса (в частности, ортонормированного базиса) и координат вектора на прямой, на плоскости и в пространстве, разложения вектора по базису; определения системы координат на прямой, плоскости и в пространстве, радиус-вектора точки, координат точки, формулу для нахождения расстояния между двумя точками; правила линейных операций над векторами в координатной форме, условия коллинеарности и компланарности в координатной форме.
Уметь: находить координаты вектора в его разложении по базису; оценивать расположение точки и находить расстояние между двумя точками на прямой, плоскости и в пространстве по её координатам; находить координаты линейной комбинации векторов.
Владеть: навыками нахождения координат вектора в его разложении по базису; навыками нахождения расстояние между двумя точками на прямой, плоскости и в пространстве по её координатам; навыками нахождение координат линейной комбинации векторов.
Знать: определения направляющих косинусов вектора и их свойства; определение деления отрезка в данном отношении; определение скалярного произведения векторов и его свойства.
Уметь: находить направляющие косинусы; находить координаты точки, делящей отрезок в данном отношении; вычислять скалярное произведение, находить угол между векторами, проекцию вектора на другой вектор; исследовать векторы на ортогональность.
Владеть: навыками нахождения направляющих косинусов; навыками вычисления скалярного произведения, угла между векторами, проекции вектора на другой вектор, исследования векторов на ортогональность.
Знать: определения нормального и направляющего векторов прямой на плоскости; уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору; общее уравнение прямой на плоскости; каноническое уравнение прямой; параметрические уравнения прямой на плоскости; уравнение прямой, проходящей через две данные точки на этой прямой; уравнение прямой, проходящей через данную точку с угловым коэффициентом; нормальное уравнение и уравнение прямой в отрезках.
Уметь: находить нормальный и направляющий векторы прямой на плоскости; использовать различные виды уравнений прямой на плоскости при решении задач, определять угловой коэффициент по уравнению прямой, проверять принадлежность точки прямой.
Владеть: навыками использования различных видов уравнений прямой на плоскости при решении задач.
Знать: формулу расстояния от точки до прямой, условия перпендикулярности и параллельности двух прямых, геометрический смысл коэффициентов в уравнениях прямой, формулу для угла между двумя прямыми на плоскости.
Уметь: применять условия перпендикулярности и параллельности двух прямых при решении задач, находить расстояние от точки до прямой и угол между двумя прямыми на плоскости.
Владеть: навыками применения условий перпендикулярности и параллельности двух прямых при решении задач.
Знать: определения нормального и направляющих векторов плоскости; уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору; общее уравнение плоскости в пространстве; уравнение плоскости в отрезках; уравнение плоскости, проходящей через три различные точки; нормальное уравнение плоскости.
Уметь: находить нормальный и направляющий векторы плоскости; использовать различные виды уравнений плоскости при решении задач, проверять принадлежность точки плоскости.
Владеть: навыками использования различных видов уравнений плоскости при решении задач.
Знать: формулу расстояния от точки до плоскости, условия перпендикулярности и параллельности двух плоскостей, геометрический смысл коэффициентов в уравнениях плоскости, формулу для угла между двумя плоскостями.
Уметь: применять условия перпендикулярности и параллельности двух плоскостей при решении задач, находить расстояние от точки до плоскости и угол между двумя плоскостями в пространстве.
Владеть: навыками применения условий перпендикулярности и параллельности двух плоскостей при решении задач.
Знать: определение направляющего вектора прямой в пространстве; канонические уравнение прямой в пространстве; параметрические уравнения прямой в пространстве; уравнение прямой, проходящей через две данные точки на этой прямой; общие уравнения прямой в пространстве.
Уметь: находить направляющий вектор прямой в пространстве; использовать различные виды уравнений прямой в пространстве при решении задач, проверять принадлежность точки прямой.
Владеть: навыками использования различных видов уравнений прямой в пространстве при решении задач.
Знать: случаи взаимного расположения прямых, условия перпендикулярности и параллельности двух прямых в пространстве, геометрический смысл коэффициентов в уравнениях прямой, формулу для угла между двумя прямыми в пространстве; условия пересечения двух прямых в пространстве, условие скрещивания двух прямых в пространстве.
Уметь: применять условия перпендикулярности и параллельности двух прямых при решении задач, находить угол между двумя прямыми в пространстве.
Владеть: навыками применения условий перпендикулярности и параллельности двух прямых в пространстве при решении задач.
Знать: случаи взаимного расположения прямых и плоскостей, условия перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости в пространстве, формулу для угла между прямой и плоскостью в пространстве, условие пересечения прямой и плоскости, условия принадлежности прямой плоскости, условия принадлежности двух прямых одной плоскости.
Уметь: применять условия перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости при решении задач, определять угол между прямой и плоскостью в пространстве, находить пересечение прямых и плоскостей в пространстве.
Владеть: навыками применения условий перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости при решении задач.
Знать: определение функции, способы задания функции, свойства функций; определения предела последовательности и предела функции; определения бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей и функций, их свойства; основные теоремы о пределах; виды неопределенностей, возникающие при вычислении пределов, и их раскрытие; теоремы о первом и втором замечательных пределах, следствия из них.
Уметь: вычислять пределы, используя свойства бесконечно и бесконечно больших последовательностей и функций; вычислять пределы, применяя основные теоремы о пределах; раскрывать неопределенности, возникающие при вычислении пределов; вычислять пределы, используя теоремы о первом и втором замечательных пределах и их следствия.
Владеть: методами вычисления пределов последовательностей и функций.
Знать: определения порядков малости функций; таблицу эквивалентных бесконечно малых функций и их свойства.
Уметь: проводить сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций; применять таблицу эквивалентных бесконечно малых функций и их свойства при вычислении пределов.
Владеть: навыками сравнения бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Знать: определения непрерывности функции в точке; критерий непрерывности функции в точке; классификацию точек разрыва функции; свойства функций, непрерывных в точке (непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных функций, непрерывность сложной функции); определение непрерывности функции на промежутке; свойства функций, непрерывных на отрезке.
Уметь: исследовать функции на непрерывность.
Владеть: навыками исследования функций на непрерывность.
Знать: определение производной функции в точке, ее геометрический, физический и экономический смысл; правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций; логарифмическое дифференцирование; производную обратной функции; таблицу производных основных элементарных функций; производную сложной функции; дифференцирование неявно заданной функции; производную функции, заданной параметрически; определение производных высших порядков.
Уметь: вычислять производные сложных функций, а также функций, заданных неявно и параметрически; выполнять логарифмическое дифференцирование; составлять уравнение нормали и касательной к графику функции в точке.
Владеть: навыками вычисления производных функций.
Знать: определение дифференцируемости и дифференциала функции одной переменной; теоремы о дифференцируемых функциях (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши); правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 0/0 и бесконечность/бесконечность; формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано; разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.
Уметь: вычислять дифференциалы сложных функций, а также функций, заданных неявно и параметрически; применять дифференциал к приближенным вычислениям; использовать правило Лопиталя при вычислении пределов; разлагать функции по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано; вычислять пределы с помощью формулы Тейлора.
Владеть: навыками вычисления дифференциалов функций; навыками нахождения пределов с использованием правила Лопиталя; навыками разложения функций по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано; навыками вычисления пределов с помощью формулы Тейлора.
Знать: условия монотонности функций; определения локальных экстремумов функций, необходимое и достаточное условие экстремума; схемы отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке; определения направления выпуклости и точки перегиба графика функции; определения выпуклой функции и теоремы об экстремумах выпуклых функций; определения асимптот кривых; общую схему исследования функций и построения их графиков.
Уметь: исследовать функции на монотонность и экстремум; исследовать график функции на интервалы выпуклости и точки перегиба; находить уравнения асимптот; проводить полное исследование функции и строить график.
Владеть: навыками проведения полного исследования функции и построения графика.
Знать: определения первообразной и неопределённого интеграла, его свойства; таблицу основных неопределенных интегралов; метод непосредственного интегрирования; метод внесения под знак дифференциала; замену переменной в неопределенном интеграле; интегрирование по частям неопределённого интеграла; интегрирование простейших рациональных дробей.
Уметь: находить неопределённые интегралы, используя методы непосредственного интегрирования, метод внесения под знак дифференциала, замену переменной, интегрирование по частям и разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.
Владеть: методами нахождения неопределённых интегралов.
Знать: определение определенного интеграла и его свойства; теорему о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу; формулу Ньютона-Лейбница; формулу замены переменной в определённом интеграле; метод интегрирование по частям определённого интеграла; определения несобственных интегралов первого и второго родов; формулы вычисления площади криволинейной трапеции.
Уметь: вычислять определённые интегралы, используя методы непосредственного интегрирования, замену переменной, интегрирование по частям и разложение подынтегральной функции на простейшие дроби; вычислять несобственные интегралы; вычислять площадь криволинейной трапеции.
Владеть: методами вычисления определённых и несобственных интегралов.
Знать: определение функции нескольких переменных; геометрическую интерпретацию функции двух переменных; определение линии уровня функции двух переменных; определения предела и непрерывности функции нескольких переменных; определения частных производных первого порядка; геометрический смысл частных производных первого порядка функции двух переменных.
Уметь: составлять уравнения линий уровня; находить частные производные первого порядка функции нескольких переменных.
Владеть: навыками нахождения частных производных первого порядка функции двух переменных.
Знать: определение дифференцируемости функций двух переменных; необходимое и достаточные условия дифференцируемости; определения полного и частных дифференциалов функции двух переменных; определение производной по направлению; определение градиента функции и его свойства; определения частных производных и дифференциалов высших порядков.
Уметь: находить полный дифференциал функции нескольких переменных; находить производную сложной функции; применять полный дифференциал функции двух переменных в приближенных вычислениях; вычислять производную по направлению и градиент; находить частные производные и дифференциалы высших порядков.
Владеть: навыками нахождения градиента и производной по направлению; навыками нахождения частных производных высших порядков функции двух переменных.
Знать: определения локальных экстремумов функций нескольких переменных; необходимое условие экстремума; определение критических точек функции нескольких переменных; достаточные условия максимума и минимума.
Уметь: находить локальные экстремумы функции нескольких переменных.
Владеть: навыками нахождения локальных экстремумов функции двух переменных.
Знать: определение условного экстремума функции нескольких переменных; метод множителей Лагранжа для нахождения условного экстремума; метод исключения неизвестных для нахождения условного экстремума функции двух переменных; достаточное условие локального условного экстремума.
Уметь: находить локальные условные экстремумы функции нескольких переменных.
Владеть: навыками нахождения локальных условных экстремумов функции двух переменных.
Знать: определения наибольшего и наименьшего значений функций нескольких переменных.
Уметь: находить наибольшие и наименьшие значения функций нескольких переменных.
Владеть: навыками нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области.

Содержание учебной дисциплины

Матрицы и определители.
Системы линейных алгебраических уравнений
Линейные пространства
Векторная алгебра
Элементы аналитической геометрии
Функции одной переменной, основы теории пределов, непрерывность
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Интегральное исчисление функции одной переменной
Функции нескольких переменных, дифференциальное исчисление
Экстремумы функций нескольких переменных

Элементы контроля

Тесты 4-6
Контрольная работа 2
Экзамен
Контрольная работа 1
Тесты 1-3
Работа на практическом занятии во втором модуле
Работа на практическом занятии в первом модуле

Промежуточная аттестация

2025/2026 2nd module
0.2 * Контрольная работа 1 + 0.2 * Контрольная работа 2 + 0.02 * Работа на практическом занятии в первом модуле + 0.02 * Работа на практическом занятии во втором модуле + 0.09 * Тесты 1-3 + 0.09 * Тесты 4-6 + 0.38 * Экзамен

Список литературы

Авторы

Кийков Сергей Ортабаевич

Программа дисциплины