Математические модели и дифференциальные уравнения

2026/2027

Статус: Майнор

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Факультет экономических наук

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Гордин Владимир Александрович

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 60

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Динамика огромного количества явлений описывается дифференциальными уравнениями и системами, линейными и нелинейными. Рост отдельного организма и размножение популяции при отсутствии ограничений на ресурс и его наличии, при наличии двух популяций: хищников и жертв или друг друга не трогающих, но конкурирующих за общий ресурс, модель экономического развития или модель развития эпидемии, модель воюющих орд, химическая кинетика, колебания различных маятников, с трением и без, резонансные явления. В курсе будут объясняться различные методы аналитического решения, анализироваться корректность задачи Коши, выясняться существование и единственность краевой задачи. Важные практические вопросы: существование стационарных и периодических решений и их устойчивость. Во многих случаях для ответа полезно использовать первые интегралы модели (типа сохраняющихся энергии или момента импульса системы). Для линейных уравнений и систем полезны метод Лагранжа (позволяющий по известным решениям однородной задачи строить решения неоднородной) и преобразование Лапласа (позволяющее свести решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами к алгебраическим преобразованиям. В тех случаях, когда аналитическое решение уравнения или системы невозможно, применяются численные методы. Для решения задачи Коши популярны методы Рунге – Кутты, которые будут в курсе отрабатываться на программистских семинарах. Император Наполеон ценил свое время и деньги. Но он пригласил в Тюильри Хладни. Тот насыпал на квадратную пластинку опилки, и стал по ее краю водить смычком. Опилки собирались вдоль определенных линий. «Он сделал видимым звук». Посмотреть можно тут: https://habr.com/ru/post/406637/ или тут: https://www.youtube.com/watch?v=ahkgm6yy_BU Наполеон смотрел и слушал ученого два часа и дал денег на публикацию. Был объявлен конкурс на математическую модель. Приз после нескольких не совсем удачных попыток получила Софи Жермен (заметен вклад комментариев Лагранжа). Для описания явления было получено уравнение в частных производных, и математика начала свою работу. Теперь эти уравнения применяют для расчетов вибраций в пластинах, лопастях турбин, крыльев самолетов и т.п. В курсе мы изучим, как распространяется тепло по сковородке, как волна на струне или мембране барабана отражается от границы, как вибрирует стержень после удара (поперечного или продольного) как бежит волна воды вдоль канала и импульс по нервному волокну, как вычислить справедливую цену на опционы и т.д. Мы покажем, как эти модели получаются из наблюдений и логическими построениями, и какие выводы, качественные и количественные, можно получить с помощью математического аппарата и применения компьютеров. Мы обсудим проблему корректности решения задачи Коши, – в каких случаях шумы в исходных данных могут при решении нарастать сколь угодно быстро со временем. Будет показано, как интегральные преобразования Фурье и Лапласа позволяют решать уравнения во всем пространстве и задачу Коши, а разложения в ряды Фурье – в ограниченных областях. Выясним, чем важна правильная постановка граничных условий в краевой и смешанной задачах.

Цель освоения дисциплины

Показать на многочисленных примерах из различных областей науки, техники, экономики эффективность математических моделей, основанных для дифференциальных уравнениях, обыкновенных и в частных производных. Слушатели майнора должны будут на примерах познакомиться с идеями построения моделей (вывод дифференциальных уравнений и граничных условий для них) и изучить математическую теорию, позволяющую качественно и количественно исследовать решения соответствующих задач. Будут рассмотрены различные дискретные аппроксимации дифференциальных уравнений, позволяющие использовать компьютеры для приближенного решения этих задач. Будем изучать методы оценки точности и вычислительной трудоемкости этих алгоритмов. Нужно будет написать машинные коды для реализации этих алгоритмов. Речь идет как о работе со стандартными пакетами программ, так и об их самостоятельном написании. Анализ результатов будет сопровождаться построением различных визуализаций (графики, изолинии, видео). Будет существенно использован материал первых двух курсов майнора. Предполагается, что задачи такого рода будут возникать в будущей профессиональной деятельности слушателя. Если у него такая модель уже имеется на примете, то возможно написание курсовой работы, а впоследствии - ВКР.

Планируемые результаты обучения

Умеет вычислять преобразование Фурье от рациональных функций, кусочно-экспоненциальных функций, гауссианы. Умеет применять преобразование к решению урчп во всем пространстве и к решению задачи Коши.
Умеет вычислять прямое и обратное преобразование Лапласа от от элементарных функций, а также кусочно-постоянных и обобщенных. Умеет вычислить асимптотику решения при больших временах
Умеет определять тип стационарной точки для системы дифференциальных уравнений и неподвижной точки для системы разностных уравнений. Умеет оценивать их устойчивость. Умеет строить фазовый портрет в двумерном случае. Умеет оценивать устойчивость предельного цикла с помощью численных методов решения ОДУ и отображения Пуанкаре. Умеет оценивать устойчивость периодических точек разностных систем с помощью численных методов
Умеет оценивать асимптотику решений линейных ОДУ в окрестности регулярных сингулярных точек. Умеет комбинировать асимптотику и численное решение вне окрестности сингулярной точки
Умеет решать простые типы ОДУ. Умеет доказывать теорему Вронского. Умеет пользоваться методом вариации постоянных для решения неоднородных уравнений. Умеет численно решить задачу Коши для системы ОДУ с использованием стандартных программ
Умеет строить и программно реализовать алгоритмы решения задачи Коши для нелинейных систем ОДУ, и решения краевой задачи для линейных систем и уравнений.
Умеет строить и программно реализовать явные и неявные разностные схемы решения задачи Коши и краевых задач для эволюционных уравнений. Умеет проверять устойчивость разностных схем. Умеет применять различные прямые и итерационные методы решения СЛАУ с разреженными матрицами. Умеет визуализировать полученные решения и проводить и анализ решений, и анализ эффективности метода решения
Умеет строить модели, основанные на нелинейных урчп. Умеет использовать метод характеристик для построения гладких и разрывных решений квазилинейного уравнения. Умеет проверять условия гиперболичности. Умеет находить первые интегралы задач. Умеет находить автомодельные решения нелинейных урчп.
Умеет строить модели, основанные на системах ОДУ для различных областей знаний, строить фазовые портреты, применять численные методы, осуществлять визуализацию полученных результатов и использовать ее для анализа решений
Умеет строить модели, основанные на урчп. Умеет анализировать различные типы граничных условий, а также условий стыковки. Умеет анализировать корректность решения задачи Коши и краевых задач. Умеет использовать метод разделения переменных для решения краевых задач.
Умеет строить первые собственные числа и функции и проверять ортогональность этих функций. Умеет раскладывать произвольную функцию по собственному базису. Умеет строить из них функцию Грина краевой задачи. Умеет решать краевые задачи методом Фурье.
Знает основные свойства стационарных течений в трубах. Умеет вывести формулу Гагена - Пуазейля и ее модификации. Понимает физический смысл граничных условий Стокса и Навье
Знаком с понятием векторного поля и умеет вычислять его дивергенцию. Умеет выводить уравнения неразрывности, диффузии, теплопроводности. Понимает физический смысл граничных условий. Умеет находить и понимает смысл автомодельного решения типа бегущей волны. Умеет выводить уравнения движения идеальной жидкости. Понимает связь уравнения гидростатики и закона Архимеда, а также физические ограничения этих утверждений.
Владеет понятием характеристики и умеет их определять для квазилинейных уравнений в частных производных, в частности для уравнения Эйлера - Хопфа. Понимает связь между пересечением характеристик и возникновением разрыва в гладком решении. Владеет понятием первого интеграла эволюционного уравнения в частных производных. Умеет определить первые интегралы для уравнения Эйлера - Хопфа в случае гладких решений. Понимает смысл условий Гюгонио - Ренкина на скачке в разрывном решении.
Знает определение основной функции. Владеет понятием сходимости последовательности в пространстве основных функций (примеры и контрпримеры). Знает определение прямого и обратного преобразования Фурье. Умеет вычислять преобразование Фурье от важнейших функций. Знает и умеет применять теорему ос свертке. Умеет применять преобразование Фурье для решения дифференциальных и разностных уравнений на прямой; понимает роль граничных условий на бесконечности.
Владеет понятиями обобщённой функции, сходимости в пространстве обобщенных функций, дельта-образной последовательности; может привести примеры. Умеет применить различные преобразования к обобщенным функциям. Умеет строить обобщенные решения дифференциальных уравнений. Умеет вычислять преобразование Фурье от обобщенных функций. Владеет понятием фундаментального решения уравнения в частных производных.
Умеет строить ряд Ньютона - Тейлора для заданного дифференциального уравнения 1-го или 2-го порядка. Умеет строит обобщенный ряд при наличии сингулярности в уравнении (теория Фробениуса)

Содержание учебной дисциплины

Стационарное течение жидкости в трубах
Нестационарные течения и уравнение неразрывности
Квазилинейные уравнения и характеристики
Основные функции и преобразование Фурье
Обобщенные функции и преобразование Фурье
Собственные функции в пространствах функций на прямой и на отрезке и метод разделения переменных Фурье
Общие свойства задачи Коши для дифференциальных уравнений
Разностные схемы для аппроксимации ОДУ
Интегральные преобразования
Численные методы для урчп.
Нелинейные урчп.

Элементы контроля

Домашние работы
Возможна устная беседа по письменной работе. Отказ от беседы ведет к аннулированию работы
Контрольная работа
Возможна устная беседа по письменной работе. Отказ от беседы ведет к аннулированию работы
Экзамен
Возможна устная беседа по письменной работе. Отказ от беседы ведет к аннулированию работы

Промежуточная аттестация

2026/2027 2nd module
0.2 * Домашние работы + 0.2 * Контрольная работа + 0.4 * Экзамен

Список литературы

Авторы

Гордин Владимир Александрович

Программа дисциплины