Теория вероятностей и математическая статистика

Бакалавриат 2025/2026

Статус: Курс обязательный (География глобальных изменений и геоинформационные технологии)

Кто читает: Департамент прикладной экономики

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 2-й курс, 2-4 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Топников Михаил Александрович, Ужегов Алексей Александрович

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 148

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Дисциплина знакомит студентов с понятийным аппаратом и инструментарием теории вероятностей, математической статистики и анализа данных, в частности пространственных. Знания, полученные по итогам освоения дисциплины, формируют необходимую базу для изучения последующих вероятностно-статистических курсов. Данная дисциплина относится к базовой части профессионального цикла (Major), проводится на 2-м курсе и является обязательной. Для её освоения студенты должны владеть базовыми школьными знаниями и компетенциями, а также основными понятиями математического анализа, линейной алгебры и теории множеств.

Цель освоения дисциплины

Формирование умения показывать знание и понимание определений, теорем и методов решения задач по дисциплине
Развитие навыков работы с абстрактными математическими понятиями
Ознакомление с областями практического приложения вероятностных моделей
Формирование умения анализировать статистические данные и результаты расчетов, в том числе, для последующего прогнозирования и выработки решений экономического характера, делать статистически обоснованные выводы, содержательно интерпретировать полученные результаты, умения собирать статистические данные
Формирование умения выбирать наиболее подходящую вероятностную модель или наиболее подходящий метод математической статистики и анализа данных для решения конкретной прикладной задачи
Формирование умения строить вероятностные и статистические модели
Развитие навыков самостоятельной работы и нахождения дополнительной информации в данной предметной области
Подготовка к изучению дисциплин, использующих вероятностные, статистические и иные методы анализа данных для решения прикладных задач.

Планируемые результаты обучения

Вычисляет основные характеристики, связанные с распределениями вероятностей Пирсона, Стьюдента, Фишера.
Обучающийся может применять формулу объединения событий и формулу вероятности обратного события для решения задач
Обучающийся способен применять классические тесты о математическом ожидании, дисперсии, доле (вероятности), разнице математических ожиданий и разнице долей (вероятностей).
Обучающийся способен решать задачи, требующие найти распределение статистической оценки
Обучающийся способен сформулировать свойства функции вероятностей и функции распределения дискретной случайной величины
Обучающийся умеет использовать следующие формулы для решения задач: формула пересечения событий, формула полной вероятности, формула условной вероятности и формула Байеса.
Обучающийся умеет проверять независимость дискретных случайных величин
Применяет непараметрические критерии для проверки гипотез.
Решает задачи на применение закона больших чисел, неравенства Маркова, неравенства Чебышева. Использует центральную предельную теорему при решении конкретных экономических задач.
Студент может сформулировать основные свойства функции вероятностей
Студент может сформулировать следующие понятия: условная вероятность, полная группа событий, попарная несовместность событий, независимость событий (попарная и в совокупности).
Студент способен описать параметры и сформулировать основные характеристики (моменты, функция вероятностей, функция распределения и носитель) распределения Бернулли, Биномиального распределения, распределения Пуассона, геометрического распределения и мультиномиального распределения, а также применять изученные ранее формулы для дискретных случайных величин в отношении соответствующих распределений
Студент способен проверять свойства оценок: несмещенность, состоятельность и эффективность
Студент способен решать задачи на распределение дискретных случайных величин
Студент способен совершать базовые операции над событиями, такие как пересечение, объединение и вычитание
Студент способен сформулировать определение дискретной случайной величины, а также ее распределения (в том числе условного), функции вероятностей, функции распределения и носителя
Студент способен сформулировать основные понятия теории вероятностей, такие как случайный эксперимент, пространство элементарных событий (для случая счетного числа элементарных исходов), пространство событий, случайное событие, достоверное событие, невозможное событие, несовместные события, обратное событие, функция вероятности
Студент умеет задавать распределение (в том числе условное) дискретной случайной величины при помощи функции вероятностей и таблицы, а также строить функцию распределения
Студент умеет задавать совместное распределение (в том числе условное) дискретных случайных величин при помощи совместной функции вероятностей и таблицы, а также считать с его помощью вероятности и ковариацию
Студент умеет оценивать параметры распределения и функции от этих параметров с помощью метода максимального правдоподобия, а также пользоваться основными свойствами оценок данного метода
Студент умеет применять метод моментов для получения статистических оценок, а также пользоваться свойствами оценок метода моментов
Студент умеет решать задачи на построение асимптотических доверительных интервалов и может сформулировать их отличие от обычных доверительных интервалов
Студент умеет считать условные и безусловные моменты для дискретных случайных величин и функций от них (в том числе математическое ожидание и дисперсию), а также применять соответствующие навыки для решения задач
Участник курса может задать распределение (в том числе условное) функции от дискретной случайной величины
Участник курса умеет искать вероятность события исходя из вероятностей соответствующих ему элементарных исходов
Участник курса умеет находить маржинальное распределение дискретной случайной величины
Участник курса умеет применять критерий хи-квадрат Фишера (о распределении и о независимости) и критерий Колмогорова
Участник курса умеет строить асимптотические доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии, доли, разницы математических ожиданий, разницы долей и отношений дисперсий, а также для параметров, оцененных при помощи метода максимального правдоподобия.
Формулирует понятия простой случайной выборки, стратифицированной случайной выборки. Рассчитывает выборочное среднее, выборочную дисперсию.
Использует закон больших чисел и центральную предельную теорему для прикладных задач.
Знает теоретические основы статистического и пространственного моделирования компонентов географической среды
Умеет оценивать области и границы применимости математических методов в географии, формулирует и проверяет географические гипотезы математическими и статистическими методами, выбирает наиболее подходящий способ визуализации пространственно-временных данных, соответствующий задачам исследования
Владеет терминологией геоинформатики и смежных областей знания, элементарными навыками программирования
Владеет современными методами, средствами и программными пакетами сбора, обработки, анализа и визуализации географических данных, в т.ч. R, Python
Обучающийся способен построить функцию распределения и функцию плотности для непрерывной случайной величины, а также пользоваться свойствами соответствующих функций; умеет считать вероятности и моменты (в том числе условные) для непрерывных случайных величин; умеет находить и использовать распределение функции от непрерывной случайной величины.
Студент может сформулировать и применять основные свойства нормального распределения.
Обучающийся умеет задавать и применять совместное распределения непрерывных случайных величин (в том числе условное); способен найти маржинальное распределения непрерывной случайной величины и его характеристики; умеет считать ковариацию между непрерывными случайными величинами; умеет строить совместную функцию распределения и совместную функцию плотности (в том числе условные) непрерывных случайных величин, а также использовать свойства соответствующих функций.
Студент способен сформулировать линейную регрессионную модель применительно к задаче исследования, осуществить процедуру оценки модели и проинтерпретировать получившиеся результаты. Студент воспроизводит теорему Гаусса-Маркова и предпосылки классической линейной регрессионной модели, а также способен выявить их нарушения.
Студент формулирует модели бинарного выбора, способен проводить процедуру их оценки и интерпретировать полученные результаты.
Студент формулирует основные понятия анализа временных рядов, воспроизводит процедуры оценки и прогнозирования для моделей типа SARIMAX, интерпретирует метрики качества прогнозов.

Содержание учебной дисциплины

Дискретное вероятностное пространство
Дискретные случайные величины
Моменты дискретных случайных величин
Основные дискретные распределения
Совместное распределение дискретных случайных величин
Условная вероятность
Непрерывные случайные величины, нормальное распределение, совместное распределение непрерывных случайных величин
Предельные теоремы теории вероятностей
Некоторые распределения вероятностей, основанные на нормальном распределении (Пирсона, Стьюдента, Фишера)
Основные понятия математической статистики, исследование выборками
Статистические оценки и их свойства
Метод моментов
Метод максимального правдоподобия
Асимптотические доверительные интервалы
Проверка гипотез о математическом ожидании, дисперсии и доле
Проверка гипотез о распределении
Непараметрические критерии для проверки некоторых статистических гипотез
Введение в эконометрику
Обобщенные линейные регрессионные модели
Введение в анализ временных рядов
Введение в анализ географических данных
Базовый анализ и работа с географическими данными
Постановка эксперимента и подготовка данных
Виды анализа географических данных

Элементы контроля

Контрольная работа ТВ
Домашнее задание МС
Контрольная работа МС
Домашнее задание Приложения
Домашнее задание ПМиМО
За 3-4 модуль будет 8 домашних заданий, баллы за которые суммируются. 1 домашнее задание = оценка до 1 балла. Выполнив все домашние задания можно получить 8 баллов за ПМиМО. Еще два балла можно добрать за хакатон.
Экзамен
Хакатон ПМиМО

Промежуточная аттестация

2025/2026 2nd module
1 * Контрольная работа ТВ
2025/2026 4th module
0.05 * Домашнее задание МС + 0.32 * Домашнее задание ПМиМО + 0.05 * Домашнее задание Приложения + 0.25 * Контрольная работа МС + 0.08 * Хакатон ПМиМО + 0.25 * Экзамен

Список литературы

Авторы

Ужегов Алексей Александрович

Программа дисциплины