2025/2026
Введение в томографию
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
3, 4 модуль
Охват аудитории:
для своего кампуса
Преподаватели:
Сивкин Владимир Николаевич
Язык:
русский
Кредиты:
3
Контактные часы:
36
Программа дисциплины
Аннотация
Математическая томография — это раздел математики, в котором требуется определить структуру объекта по данным зондирования. Такие задачи широко возникают в микроскопии, медицине, техническом контроле. С математической точки зрения они сводятся к восстановлению параметров дифференциального уравнения по свойствам его решений. В данном курсе мы познакомимся с математическими преобразованиями волн и узнаем, как их обращать. В частности, мы рассмотрим задачу обращения преобразования Радона, и задачу обращения преобразования Фурье по бесфазовым данным.
Цель освоения дисциплины
- Знакомство с математическими постановками обратных задач томографии и методами их решения
Планируемые результаты обучения
- Выводить основное уравнение рентгеновской томографии. Формулировать прямую и обратную задачи рассеяния.
- Решать задачу обращения преобразования Радона.
- Формулировать прямую и обратную задачу эмиссионной томографии. Решать обратную задачу ЭТ.
- Формулировать физическую интерпретацию бесфазовых данных рассеяния. Решать задачу восстановления фазы.
- Выводить параксиальное приближение волнового уравнения. Решать обратную задачу рассеяния с использованием параксиального приближения.
Содержание учебной дисциплины
- Прямые и обратные задачи. Корректность по Адамару.
- Обобщенные функции и преобразование Фурье
- Введение в томографию
- Преобразование Радона и проекционная теорема. Формула обращения Радона
- Альтернативные методы восстановления. Внешняя задача рентгеновской томографии
- Образ лучевого преобразования. Теорема Гельфанда-Граева-Хелгасона
- Однофотонная эмиссионная томография. Позитронная эмиссионная томография
- Параксиальное приближение
- Постановка обратной задачи рассеяния для уравнения Шредингера
- Бесфазовая обратная задача рассеяния и связь с преобразованием Фурье
- Задача Штурма-Лиувилля
Промежуточная аттестация
- 2025/2026 4th module0.2 * In-class assignment + 0.1 * Пятиминутка + 0.7 * Экзамен
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Агранович, М. С. Обобщенные функции : учебное пособие / М. С. Агранович. — Москва : МЦНМО, 2008. — 128 с. — ISBN 978-5-94057-402-6. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/9275 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
- Обратные волновые задачи акустической томографии. Ч. 1: Обратные задачи излучения в акустике, Буров, В. А., 2021
- Обратные волновые задачи акустической томографии. Ч. 2: Обратные задачи акустического рассеяния, Буров, В. А., 2021
- Сизиков, В. С. Прямые и обратные задачи восстановления изображений, спектроскопии и томографии с MatLab : учебное пособие / В. С. Сизиков. — Санкт-Петербург : Лань, 2022. — 412 с. — ISBN 978-5-8114-2754-3. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/210080 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
Рекомендуемая дополнительная литература
- Обратные волновые задачи акустической томографии. Ч. 4: Функционально-аналитические методы решения многомерной акустической обратной задачи рассеяния, Буров, В. А., 2024