Дополнительные главы квантовой механики: от гармонического осциллятора к квантовому компьютеру

2025/2026

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 3, 4 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Семенов Андрей Георгиевич

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 36

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Одним из ключевых достижений физики в ХХ веке является осознание того факта, что весь окружающий нас мир подчиняется законам квантовой механики, в то время как привычные нам законы классической физики (такие как, например, уравнения Ньютона) описывают лишь макроскопические объекты и могут быть получены при помощи предельного перехода. Создание квантовой механики позволило не только продвинуться в понимании того, как устроен мир на атомных масштабах, но и стимулировало развитие множества естественнонаучных дисциплин. Например, квантовая механика объяснила почему и каким образом из атомов образуются молекулы. Даже создание привычного нам компьютера на микроэлектронной базе не было бы возможным без понимания квантовомеханических законов. В то же самое время она оказала существенное влияние на развитие математики и стимулировала развитие ряда ее областей, таких как, например, теория линейных самосопряженных операторов в бесконечномерном Гильбертовом пространстве, теория обобщенных функций, спектральная теория и др. В настоящее время квантовая механика является базовым разделом теоретической и математической физики, а ее знание необходимо для понимания практически всех продвинутых областей современной физики и части разделов современной математики. Неожиданное применение квантовая механика нашла и в области компьютерных наук. Оказалось, что в ряде ситуаций квантовые компьютеры (вычислители функционирующие на основе квантовомеханических принципов) могут работать кардинально быстрее классических вычислительных устройств. Целью данного курса является обсуждение ряда интересных сюжетов, иллюстрирующих различные методы и подходы к описанию квантовомеханических систем, а также математики, стоящей за ними. На примерах будут рассмотрены основные точные и приближенные методы квантовой механики, операторные подходы, описание при помощи функционального интеграла, роль топологии и пр. Также планируется осветить основные принципы функционирования различных типов квантовых компьютеров. Конкретное содержание курса и акценты будут сделаны в зависимости от слушателей и их уровня.

Цель освоения дисциплины

Формирование глубокого понимания фундаментальных принципов и математического аппарата квантовой механики, а также умения применять полученные знания для анализа и решения современных физических задач, связанных с квантовыми явлениями и технологиями.

Планируемые результаты обучения

Понимание фундаментальных принципов квантовой механики: суперпозиция, неопределённость, квантование, корпускулярно-волновой дуализм, роль измерения и коллапса волновой функции
Владение математическим аппаратом квантовой механики: волновая функция, уравнение Шрёдингера, операторы, гильбертово пространство, собственные значения и собственные функции
Навыки и умения в решении базовых задач: гармонический осциллятор, частица в потенциальной яме, туннельный эффект, задача Кеплера, движение в центральном поле.
Умение объяснять и применять приближённые методы: теория возмущений, квазиклассическое приближение (ВКБ), вариационный метод
Умение проводить анализ явления когерентности и запутанности, понимать смысл фазы Берри и топологических инвариантов
владение основами квантовых вычислений: кубиты, квантовые вентили, алгоритмы (Гровера, Шора), проблемы декогеренции и коррекции ошибок
Понимание формализма теории рассеяния: матрица рассеяния, амплитуда рассеяния, борновское приближение, обратная задача рассеяния
Умение формулировать и объяснять различия между классическим и квантовым описанием природы, а также между различными подходами к квантовым вычислениям и интерпретациям квантовой механики

Содержание учебной дисциплины

Основные идеи и подходы в квантовой механике.
Гармонический осциллятор и когерентные состояния.
Угловой момент и движение в центральном поле.
Случайное вырождение в атоме водорода, операторное решение.
Частица в магнитном поле.
Частица в периодическом потенциале vs. частица на кольце. Незатухающий ток.
Взгляд на квантовую механику с точки зрения интеграла по путям.
Приближенные методы в квантовой механике, теория возмущений.
Квазиклассическое приближение в квантовой механике. Квантовых хаос.
Нестационарные задачи, адиабатическая и неадиабатическая эволюция.
Фаза Берри. Топологические явления в квантовой механике.
Квантовые компьютеры и различные подходы к квантовым вычислениям.
Теория рассеяния (При наличии времени и желания слушателей).

Элементы контроля

Домашняя контрольная работа
Экзамен

Промежуточная аттестация

2025/2026 4th module
Итоговая оценка равна 0.7 $H$+0.3 $E$, где $H$ - средняя оценка по всем домашним контрольным в семестре, а $E$ - оценка за экзамен. Округление в меньшую сторону, но на экзамене есть возможность для повышения оценки путём обсуждения и решения задач.

Список литературы

Авторы

Семенов Андрей Георгиевич

Программа дисциплины