Математический анализ

Бакалавриат 2025/2026

Статус: Курс обязательный (Бизнес-информатика)

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Субочев Андрей Николаевич, Шварц Дмитрий Александрович, Юдина Ангелина Вячеславовна

Язык: русский

Кредиты: 8

Контактные часы: 128

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Математический анализ есть исследование взаимного влияния количественных величин, меняющихся непрерывно. Определяя операции дифференцирования и интегрирования, математический анализ предоставляет исследователю и практику эффективные методы работы с непрерывными математическими моделями, описывающими на языке функций структуры и процессы в природе, человеке или обществе. Поскольку современное, рациональное управление немыслимо без использования математических моделей, базовые знания по математическому анализу необходимы как для самостоятельного решения экономических, инженерных и иных задач, так и для понимания способов и результатов их применения другими людьми. Кроме того, изучение математического анализа развивает умение мыслить логически, повышает интеллектуальный уровень и расширяет общекультурный кругозор человека.

Цель освоения дисциплины

• приобретение студентами базовых знаний по дифференциальному и интегральному исчислению функций одной или нескольких действительных переменных; знакомство с кругом стандартных задач математического анализа и основных методов их решения
• формирование умения применять методы математического анализа для решения различных задач, в том числе возникающих в других дисциплинах, а также способности оценивать результаты их применения
• формирование посредством работы с абстрактными понятиями высшей математики навыков строгого логического мышления; повышение интеллектуального уровня и расширение общекультурного кругозора студентов

Планируемые результаты обучения

• формулировать определения базовых понятий и основные теоремы дифференциального и интегрального исчисления функций одной и нескольких вещественных переменных
• разъяснять утверждения определений и теорем, приводя примеры и контрпримеры
• решать стандартные задачи анализа функций одной и нескольких вещественных переменных, применяя указанный метод
• анализируя условия задачи, проверять возможность решения данной задачи тем или иным методом, подбирать наилучший метод из числа применимых для решения данной задачи
• доказывать основные теоремы математического анализа, предсказывать свойства возможных решений, проверять полученные решения на предмет их возможности

Содержание учебной дисциплины

Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Тема 1. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава I, §2 стр. 7-9. Глава II, §1 стр. 16, §5 стр. 32. Максимум и минимум числового множества. Утверждение о максимуме и минимуме конечного числового множества. Примеры множеств, у которых нет максимума или минимума. Верхняя и нижняя грани множества. Точные верхняя и нижняя грани (супремум и инфимум) числового множества. Теорема о точных гранях. Определение числовой последовательности. Вещественные числа как последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Геометрическая интерпретация ограниченности. Сходящиеся последовательности и их предел. Геометрическая интерпретация сходимости. Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности. Примеры последовательностей ограниченных, но не сходящихся. Монотонность последовательности. Сходимость монотонной ограниченной последовательности. Тема 2. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава II, §2 стр. 21, §3 стр. 24-25, §4 стр. 29-30. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними. Эталонные последовательности. Арифметические действия с последовательностями. Теорема о сходимости и пределах результатов арифметических действий со сходящимися последовательностями. Следствие о бесконечной малости суммы, разности и произведения бесконечно малых последовательностей. Теорема об ограниченности суммы, разности и произведения ограниченных последовательностей. Теорема о произведении ограниченной и бесконечно малой последовательностей. Теорема о результатах арифметических действий с бесконечно большими последовательностями. Тема 3. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава II §6 стр. 34-35, §7 стр. 34-35. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. Глава 13. §1, раздел 1, стр. 426-427; разделы 2 и 3, стр. 429-432. §2, разделы 1, 2 и 3, стр. 432-439. §3, разделы 1, 2 и 3, стр. 445-447, 449, 450. Предельный переход в неравенстве. Теорема о двух полицейских. Первый и второй замечательные пределы. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Ряд, частичная сумма ряда, сумма ряда. Сумма геометрической прогрессии. Гармонический ряд. Необходимое условие сходимости ряда. Достаточные условия сходимости положительного ряда: признак сравнения, признак Даламбера, признак Коши. Абсолютная и условная сходимости ряда. Признак сходимости Абеля-Дирихле. Перестановочное свойство для рядов. Тема 4. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава III, §1 стр. 40-43. Определение вещественнозначной функции одной вещественной переменной. Предельная точка числового множества. Определение предела функции одного вещественного переменного в точке по Гейне. Односторонние пределы. Теорема о связи предела функции в точке и её пределов в этой точке справа и слева. Предел функции на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Теорема о связи бесконечно большой и бесконечно малой величин. Арифметические действия с функциями и их пределы. Многочлен и рациональная функция. Пределы базовых элементарных функций. Тема 5. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава III, §3 стр. 52-53, §4 стр. 58-60. Сравнение бесконечно малых функций: функции одного порядка малости, эквивалентные функции, бесконечно малые функции более высокого порядка. Символ о-малое и действия с ним (алнебра о-малого). Асимптотические формулы: представление функции в виде суммы многочлена и бесконечно малой величины. Нахождение пределов функций с помощью асимптотических формул. Вывод асимптотических формул базовых элементарных функций. Тема 6. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава III, §3 стр. 52-53, §4 стр. 58-60. Композиция функций и обратная функция. Асимптотические формулы частного, композиции функций и обратной функции. Непрерывность функции. Односторонняя непрерывность. Сохранение непрерывности при арифметических операциях и композиции. Непрерывность многочленов и рациональных функций. Непрерывность обратной функции. Непрерывность элементарных функций. Непрерывность модуля, минимума и максимума. Разрывы функции и их классификация: устранимые разрывы, неустранимые разрывы 1-го и 2-го рода. Гиперболические функции. Тема 7. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава IV §1 стр. 65-67, §2 стр. 77-78. Дифференцируемость и дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Непрерывность дифференцируемой функции. Производная и ее связь с дифференцируемостью и дифференциалом. Касательная к графику функции и геометрический смысл производной. Бесконечная производная. Физический смысл производной: производная как скорость изменения функции. Односторонние производные. Дифференцируемость, дифференциалы и производные результатов арифметических действий с функциями. Дифференцируемость, дифференциал и производная сложной функции. Дифференцируемость и производная обратной функции. Дифференцируемость и производные элементарных функций. Производная симметричной функции. Тема 8. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава VI, §1, стр. 108-109; §3, разделы 1 и 2, стр. 116. Глава VII, §1, раздел 3, стр.130-131. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. Глава 8. §1-4, стр. 247-256, §7-8, стр. 260-262. Глава 9. §1, стр. 300-307, §7, стр. 323-325. Определение предела функции одного вещественного переменного в точке по Коши. Эквивалентность двух определений предела. Устойчивость знака непрерывной функции. Теорема о корне непрерывной на сегменте функции и решение нелинейных уравнений. Промежутки знакопорстоянства и их границы. Теорема о промежуточном значении. Возрастание (убывание) функции в точке, достаточное условие выполнения этого свойства. Монотонность функции на множестве. Условия монотонности функции на промежутке. Промежутки монотонности и их границы. Локальный экстремум. Необходимое условие локального экстремума (теорема Ферма). Достаточные условия локального экстремума. Тема 9. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава VI §1 стр. 108-110; §3 стр. 116-117; §4 стр.122-123. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. Глава 8. §5-6, стр. 256-259, §9-12, стр. 263-274. Ограниченность функции на множестве и глобальный экстремум. Необходимое условие глобального экстремума. Теорема об ограниченности непрерывной на сегменте функции (1-я теорема Вейерштрасса). Достаточное условие глобального эекстремума: теорема о достижении непрерывной на сегменте функцией своих точных верхней и нижней граней (2-я теорема Вейерштрасса). Теорема о нуле производной (теорема Ролля). Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши). Правило Лопиталя. Формула конечных приращений (формула Лагранжа) и её следствия. Тема 10. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава IV §3 стр. 80-82. Глава VI §5 стр. 125-126. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. Глава 5. §10, стр. 183-187. Глава 8. §13-16, стр. 275-299. Производные высших порядков. Формула Лейбница. Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Многократная дифференцируемость и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и ее приложение к оценке точности приближённых вычислений. Интервальная оценка иррациональных величин (корней натуральных чисел, синусов малых углов, чисел π и e). Выбор степени многочлена Тейлора, гарантирующей заданную точность вычислений. Тема 11. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава IV §3 стр. 80-82. Глава VI §5 стр. 125-126. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. Глава 5. §10, стр. 183-187. Глава 8. §13-16, стр. 275-299. Симметрии функции: чётность и периодичность. Леммы о сумме и разности периодов. Период в собственном смысле. Теорема о существовании периода в собственном смысле. Теорема о периодах функции, у которой есть период в собственном смысле. Вертикальная и наклонная асимптоты графика функции. Критерий существования наклонной асимптоты. Использование анализа асимптотического поведения функции (асимптотических формул) для качественного построения эскиза графика функции. Теорема об отсутствии устранимых разрывов и разрывой 1 рода у производной функции на промежутке. Тема 12. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава IV §1, раздел 9, стр. 67-68. Глава VII §1 стр. 130-132. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. Глава 5. §11, стр. 188. Глава 9. §2-3, стр. 308-315, §6, стр. 320-322. Выпуклость множества в геометрическом и линейном пространствах. Два определения выпуклости графика функции на промежутке (через хорду и через касательную) и их связь. Достаточное условие выпуклости графика функции на промежутке. Промежутки выпуклости и их границы. Точки перегиба. Необходимое условие и достаточные условия перегиба. Параметрически заданная кривая и её построение. Тема 13. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава IV §1, раздел 9, стр. 67-68. Глава VII §1 стр. 130-132. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. Глава 5. §11, стр. 188. Глава 9. §2-3, стр. 308-315, §6, стр. 320-322. Бесконечная дифференцируемость функции в точке и ряд Тейлора. Сходимость ряда Тейлора. Понятие аналитической функции (по Вейерштрассу). Область аналитичности. Теорема о дифференцируемости, производной и ряде Тейлора аналитической функции. Аналитичность основных элементарных функций и их ряды Тейлора. Сходимость и предел последовательности комплексных чисел. Определение функции комплексного переменного через ряд Тейлора. Доказательство формулы Эйлера (экспоненциальная форма комплексного числа). Вычисление значений базовых элементарных функций вне их области определения.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Тема 14. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава X §1 стр. 191-194; §2 стр. 198. Функции нескольких переменных и их графическое представление. Многомерные пространства. Множества и последовательности точек в них. Функции нескольких переменных. График и линии равного уровня функции двух переменных. Тема 15. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава X §2 стр. 198-200; §3 стр. 204-206. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных. Тема 16. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава X §4 стр. 213-217. Дифференцируемость функций нескольких переменных. Частные производные. Первый дифференциал, инвариантность его формы. Касательная плоскость к графику и касательная к линии равного уровня функции двух переменных. Дифференцирование сложной функции. Градиент и производная по направлению. Тема 17. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава X §5 стр. 225-229. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Тема 18. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава X §6 стр. 236-239. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия локального экстремума. Достаточные условия локального экстремума. Случай функции двух переменных. Примеры многокритериальной оптимизации: выбор оптимального сочетания факторов производства. Тема 19. Глобальные свойства непрерывных функций и глобальный экстремум. Образ и прообраз функционального преобразования. Множества, заданные равенствами и неравенствами для функций и их свойства. Сохранение открытости, замкнутости, компактности при функциональном преобразовании. Общая схема нахождения глобальных экстремумов непрерывной функции на компакте. Метод параметризации границы. Тема 20. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава XI §1 стр. 243-245. Неявные функции, определяемые одним уравнением. Существование и дифференцируемость неявных функций. Тема 21. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава XI §1 стр. 245-246, §2 стр. 257-258, §3 стр. 261-263. Неявные функции, определяемые системой нелинейных уравнений. Независимые функции. Разрешимость системы нелинейных уравнений, вычисление частных производных решения. Матрица Якоби. Условный экстремум с одним и несколькими условиями связи: метод исключения. Тема 22. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава XI §3 стр. 263-264. Условный экстремум с одним условием связи: графический метод. Условный экстремум с одним и несколькими условиями связи: метод неопределенных множителей Лагранжа, его геометрическая интерпретация. Необходимое условие экстремума. Тема 23. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава XI §3 стр. 263-264. Условный экстремум с одним и несколькими условиями связи: метод неопределенных множителей Лагранжа, его геометрическая интерпретация. Достаточное условие экстремума.
Интегральное исчисление
Тема 24. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава V §1 стр. 87-88, §2 стр. 89-90, §3 стр. 91-93. Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Их свойства. Таблица простейших неопределенных интегралов. Теорема о замене переменной в неопределенном интеграле. Тема 25. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава V §4 стр. 94, §5 стр. 96-99, §7 стр. 106. Теорема об интегрировании по частям в неопределенном интеграле. Дробно-рациональные функции (ДРФ), правильные ДРФ, каноническое разложение многочлена на линейные и квадратичные вещественные множители. Разложение правильной ДРФ на элементарные дроби. Интегрирование дробно-рациональной функции. Интегрирование тригонометрической дробно-рациональной функции. Тема 26. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава VIII §1 стр. 143-145, §2 стр. 149-150. Нижняя и верхняя суммы Дарбу и их свойства. Определенный интеграл. Критерий интегрируемости функции. Теоремы о достаточных условиях интегрируемости функции. Пример неинтегрируемой функции. Свойства определенного интегрирала. Тема 27. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава VIII §2 стр. 150-151, §3 стр. 153-155, §4 стр. 164-165. Теорема о среднем и ее следствия. Интеграл с переменным верхним пределом, теорема о его производной. Теорема о существовании первообразной на сегменте. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема о замене переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле. Тема 28. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава IV §1 п.9 стр. 67-68. Глава VII §2 стр. 137-139. Глава VIII §4 стр. 164-165. Понятие длины кривой. Вычисление длин кривых, заданных различным способом (как график функции в декартовых или полярных координатах или параметрически). Тема 29. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава VIII §4 стр. 165. §5 стр. 167-168. Понятие площади плоской фигуры. Вычисление площадей фигур, заданных различным способом (границей, являющейся графиком функции в декартовых или полярных координатах или параметрически). Тема 30. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть II. 4-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. Глава 3. §1-2, стр. 98-109. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Признаки сходимости несобственных интегралов. Следствия о сходимости и расходимости в сравнении со степенной функцией. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Формулы интегрирования по частям. Теорема о замене переменной. Теоретико-вероятностные приложения определённого интеграла: вычисление средних величин и дисперсии. Тема 31. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава XII §1 стр. 279-281; §2 стр. 295-297; §3 стр. 312-313. Понятие объема тела. Определённый интеграл функции нескольких переменных (кратный интеграл). Условия интегрируемости функции несколькитх переменных. Первая теорема о понижении кратности интеграла. Сведение двойного интеграла к двум повторным. Формула объема тела с известной площадью сечений. Тема 32. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: 2001. Глава XII §1 стр. 281-284; §2 стр. 295-297; §3 стр. 313-314. Вторая теорема о сведении кратного интеграла к повторному. Замена переменных в кратном интеграле.

Элементы контроля

Оценка за аудиторную работу в первом полугодии
Устными формами текущего контроля являются: ответ на теоретический вопрос у доски или с места в аудитории или в видеоконференции, решение задачи у доски или на месте в аудитории или в видеоконференции. Назначением устных форм текущего контроля является стимулирование работы студентов по освоению дисциплины во время семинарского занятия. Преподаватель, ведущий семинарские занятия, самостоятельно разрабатывает схему оценивания аудиторной работы студентов и доводит её до их сведения по электронной почте. Преподаватель имеет право использовать любую шкалу оценивания аудиторной работы на семинаре, а также способ перевода её в оценку за аудиторную работу. Значениями оценок за аудиторную работу в полугодиях являются целые числа от 0 до 10. Лектор имеет право (но не обязан) проводить во время лекций письменные контрольные работы (ЛКР), результаты которых учитываются при выведении аудиторной оценки как дополнительные баллы к оценке за аудиторную работу. Целью ЛКР является стимулирование посещаемости лекций. Форма оценивания ЛКР определяется лектором по своему усмотрению. Оценки за ЛКР учитываются в аудиторной оценке преподавателями, ведущими семинарские занятия, в соответствии со списком, предоставленным лектором. Оценки за ЛКР учитываются в форме повышения оценки за аудиторную работу на количество баллов, определённое лектором. Оценка за аудиторную работу не является блокирующей и не пересдаётся.
Оценка за аудиторную работу во втором полугодии
Устными формами текущего контроля являются: ответ на теоретический вопрос у доски или с места в аудитории или в видеоконференции, решение задачи у доски или на месте в аудитории или в видеоконференции. Назначением устных форм текущего контроля является стимулирование работы студентов по освоению дисциплины во время семинарского занятия. Преподаватель, ведущий семинарские занятия, самостоятельно разрабатывает схему оценивания аудиторной работы студентов и доводит её до их сведения по электронной почте. Преподаватель имеет право использовать любую шкалу оценивания аудиторной работы на семинаре, а также способ перевода её в оценку за аудиторную работу. Значениями оценок за аудиторную работу в полугодиях являются целые числа от 0 до 10. Лектор имеет право (но не обязан) проводить во время лекций письменные контрольные работы (ЛКР), результаты которых учитываются при выведении аудиторной оценки как дополнительные баллы к оценке за аудиторную работу. Целью ЛКР является стимулирование посещаемости лекций. Форма оценивания ЛКР определяется лектором по своему усмотрению. Оценки за ЛКР учитываются в аудиторной оценке преподавателями, ведущими семинарские занятия, в соответствии со списком, предоставленным лектором. Оценки за ЛКР учитываются в форме повышения оценки за аудиторную работу на количество баллов, определённое лектором. Оценка за аудиторную работу не является блокирующей и не пересдаётся.
Среднее оценок за мини-контрольные работы первого полугодия
Выполнение студентами практического домашнего задания и освоение теоретического материала, изложенного на лекции и в учебнике, проверяется с помощью мини-контрольной работы (МКР), проводимой в начале семинара. МКР проводятся в формате closed-book. Использование каких-либо записей, книг, прочих внешних источников информации, а также любых электронных устройств, включая калькуляторы, запрещается. МКР любого семинара, кроме МКР первого семинара полугодия, состоит из одной задачи, аналогичной или идентичной задачам ДЗ по теме предыдущего семинара, или одного контрольного вопроса по теме текущего семинара. Формулировки вопросов и задач в МКР могут отличаться от формулировок в списке и ДЗ, так как семинаристы могут их упрощать, сокращать, переформулировать, варьировать коэффициенты, члены формул и логические условия. Задание МКР первого семинара полугодия состоит из теоретического вопроса. Списывание (использование внешних источников информации) в любой форме не допустимо, предосудительно и запрещено. Во время семинара запрещается использование электронных часов (smart watch), телефонов, планшетов, ноутбуков и любых других электронных устройств. Нарушители этого правила будут наказываться как обнулением оценок за МКР, так и привлечением к административной ответственности в соответствии с локальными нормативными актами НИУ ВШЭ. Факт списывания может быть установлен как во время проведения МКР преподавателем, осуществляющим прокторинг, так и при проверке МКР ассистентом. При проверке МКР ассистент может обнаружить списанный ответ или решение по специфическим "ошибкам переписчика". К ошибкам переписчика относятся, в частности, самоисправляющиеся ошибки, бессмысленные выражения, пропуски технически необходимых для получения решения частей текста или математических формул (пробелы в решении), а также иные погрешности, возникающие в тексте при его переписывании другого текста. Обнаружив подобные ошибки, проверяющий имеет право истолковать их как доказательство списывания. В этом случае за отдельное задание или даже за всю работу (по усмотрению проверяющего) ставится 0 баллов. Предъявлять претензии преподавателю или ассистенту по поводу обнуления задания или работы в связи с обнаружением им факта списывания запрещается. Разрешается показать лектору наличие теоретических и/или практических знаний посредством устного ответа (без подготовки) на произвольный вопрос из списка контрольных вопросов к лекции или решения (без подготовки) произвольной задачи из домашнего задания по теме МКР, оценка за которую была обнулена в связи со списыванием, во время консультации лектора, непосредственно следующей за датой объявления оценок. Студент, пропустивший МКР, вне зависимости от причины пропуска не имеет возможности написать пропущенную МКР в другое время. После получения оценок за МКР от учебного ассистента, в течение следующих трёх дней студенты имеют право отправить учебным ассистентам вопросы и претензии по проверке МКР. В случае разногласий ассистент пересылает вопрос и свой ответ преподавателю, ведущему семинары, и он принимает окончательное решение об оценке МКР. Если в течение трёх дней оценка за МКР не была оспорена, то она становится окончательной и не может быть изменена. В формулу расчёта итоговой оценки за полугодие входит арифметическое среднее оценок за МКР данного полугодия, округлённое арифметическим способом до тысячных.
Среднее оценок за мини-контрольные работы второго полугодия
Выполнение студентами практического домашнего задания и освоение теоретического материала, изложенного на лекции и в учебнике, проверяется с помощью мини-контрольной работы (МКР), проводимой в начале семинара. МКР проводятся в формате closed-book. Использование каких-либо записей, книг, прочих внешних источников информации, а также любых электронных устройств, включая калькуляторы, запрещается. МКР любого семинара, кроме МКР первого семинара полугодия, состоит из одной задачи, аналогичной или идентичной задачам ДЗ по теме предыдущего семинара, или одного контрольного вопроса по теме текущего семинара. Формулировки вопросов и задач в МКР могут отличаться от формулировок в списке и ДЗ, так как семинаристы могут их упрощать, сокращать, переформулировать, варьировать коэффициенты, члены формул и логические условия. Задание МКР первого семинара полугодия состоит из теоретического вопроса. Списывание (использование внешних источников информации) в любой форме не допустимо, предосудительно и запрещено. Во время семинара запрещается использование электронных часов (smart watch), телефонов, планшетов, ноутбуков и любых других электронных устройств. Нарушители этого правила будут наказываться как обнулением оценок за МКР, так и привлечением к административной ответственности в соответствии с локальными нормативными актами НИУ ВШЭ. Факт списывания может быть установлен как во время проведения МКР преподавателем, осуществляющим прокторинг, так и при проверке МКР ассистентом. При проверке МКР ассистент может обнаружить списанный ответ или решение по специфическим "ошибкам переписчика". К ошибкам переписчика относятся, в частности, самоисправляющиеся ошибки, бессмысленные выражения, пропуски технически необходимых для получения решения частей текста или математических формул (пробелы в решении), а также иные погрешности, возникающие в тексте при его переписывании другого текста. Обнаружив подобные ошибки, проверяющий имеет право истолковать их как доказательство списывания. В этом случае за отдельное задание или даже за всю работу (по усмотрению проверяющего) ставится 0 баллов. Предъявлять претензии преподавателю или ассистенту по поводу обнуления задания или работы в связи с обнаружением им факта списывания запрещается. Разрешается показать лектору наличие теоретических и/или практических знаний посредством устного ответа (без подготовки) на произвольный вопрос из списка контрольных вопросов к лекции или решения (без подготовки) произвольной задачи из домашнего задания по теме МКР, оценка за которую была обнулена в связи со списыванием, во время консультации лектора, непосредственно следующей за датой объявления оценок. Студент, пропустивший МКР, вне зависимости от причины пропуска не имеет возможности написать пропущенную МКР в другое время. После получения оценок за МКР от учебного ассистента, в течение следующих трёх дней студенты имеют право отправить учебным ассистентам вопросы и претензии по проверке МКР. В случае разногласий ассистент пересылает вопрос и свой ответ преподавателю, ведущему семинары, и он принимает окончательное решение об оценке МКР. Если в течение трёх дней оценка за МКР не была оспорена, то она становится окончательной и не может быть изменена. В формулу расчёта итоговой оценки за полугодие входит арифметическое среднее оценок за МКР данного полугодия, округлённое арифметическим способом до тысячных.
Экзамен первого полугодия
Экзамен проводится письменно, синхронно, в формате closed-book. Как правило, экзамен проводится офлайн, но если нет возможности провести его офлайн, то в виде исключения допускается проведение экзамена дистанционно. Использование каких-либо записей, книг, прочих внешних источников информации, а также любых электронных устройств, включая калькуляторы, во время экзамена в любом формате его проведения запрещается. Конкретные правила экзамена определяются отдельным документом, составляемым лектором вместе с преподавателями, ведущими семинарские занятия, и рассылаемым студентам по официальным канала связи в течение пяти дней после последнего семинарского занятия. Экзаменационное задание составляется из задач, аналогичных задачам домашних зданий, и теоретических вопросов, выбранных из списков контрольных вопросов, рассылаемых студентам после каждой лекции. Выполнение экзаменационного задания является самостоятельным. Списывание (использование чьей-либо помощи и/или внешних источников) категорически запрещено. Факт списывания может быть установлен как во время экзамена, так и после него в ходе проверки экзаменационной работы или на показе работ. При проверке работы преподаватель может обнаружить списанный ответ или решение по специфическим "ошибкам переписчика". К ошибкам переписчика относятся, в частности, самоисправляющиеся ошибки, бессмысленные выражения, пропуски технически необходимых для получения решения частей текста или математических формул (пробелы в решении), а также иные погрешности, возникающие при переписывании другого текста. Обнаружив подобные ошибки, проверяющий имеет право истолковать их как доказательство списывания. В этом случае за отдельное задание или даже за всю работу (по усмотрению преподавателя) ставится 0 баллов. Так как единственной целью экзамена является проверка усвоения именно того знания, которое сообщалось преподавателем студентам, а не всех знаний по математическому анализу вообще, то использование методов и формулировок, которых не было на лекциях и семинарах, запрещается, интерпретируется как отсутствие знания материала, обязательного к изучению, и отрицательным образом оценивается. Студенты имеют право задать проверяющему вопросы по проверке работы во время показа работ. В свою очередь, проверяющий имеет право задать студенту вопрос по поводу решения той или иной задачи экзаменационного задания или ответа на теоретический вопрос, а также попросить выполнить какое-либо задание повторно. Данная просьба не является дополнительным заданием и обязательна для выполнения. В зависимости от ответов студента, оценка за задание на показе работ может быть скорректирована (как увеличена, так и уменьшена). После показа работ оценка за экзамен становится окончательной. Участие в показе работ не является обязательным. Конкретные правила экзамена определяются отдельным документом, составляемым лектором вместе с преподавателями, ведущими семинарские занятия, и рассылаемым студентам по официальным канала связи в течение пяти дней после последнего семинарского занятия.
Экзамен второго полугодия
Экзамен проводится письменно, синхронно, в формате closed-book. Как правило, экзамен проводится офлайн, но если нет возможности провести его офлайн, то в виде исключения допускается проведение экзамена дистанционно. Использование каких-либо записей, книг, прочих внешних источников информации, а также любых электронных устройств, включая калькуляторы, во время экзамена в любом формате его проведения запрещается. Конкретные правила экзамена определяются отдельным документом, составляемым лектором вместе с преподавателями, ведущими семинарские занятия, и рассылаемым студентам по официальным канала связи в течение пяти дней после последнего семинарского занятия. Экзаменационное задание составляется из задач, аналогичных задачам домашних зданий, и теоретических вопросов, выбранных из списков контрольных вопросов, рассылаемых студентам после каждой лекции. Выполнение экзаменационного задания является самостоятельным. Списывание (использование чьей-либо помощи и/или внешних источников) категорически запрещено. Факт списывания может быть установлен как во время экзамена, так и после него в ходе проверки экзаменационной работы или на показе работ. При проверке работы преподаватель может обнаружить списанный ответ или решение по специфическим "ошибкам переписчика". К ошибкам переписчика относятся, в частности, самоисправляющиеся ошибки, бессмысленные выражения, пропуски технически необходимых для получения решения частей текста или математических формул (пробелы в решении), а также иные погрешности, возникающие при переписывании другого текста. Обнаружив подобные ошибки, проверяющий имеет право истолковать их как доказательство списывания. В этом случае за отдельное задание или даже за всю работу (по усмотрению преподавателя) ставится 0 баллов. Так как единственной целью экзамена является проверка усвоения именно того знания, которое сообщалось преподавателем студентам, а не всех знаний по математическому анализу вообще, то использование методов и формулировок, которых не было на лекциях и семинарах, запрещается, интерпретируется как отсутствие знания материала, обязательного к изучению, и отрицательным образом оценивается. Студенты имеют право задать проверяющему вопросы по проверке работы во время показа работ. В свою очередь, проверяющий имеет право задать студенту вопрос по поводу решения той или иной задачи экзаменационного задания или ответа на теоретический вопрос, а также попросить выполнить какое-либо задание повторно. Данная просьба не является дополнительным заданием и обязательна для выполнения. В зависимости от ответов студента, оценка за задание на показе работ может быть скорректирована (как увеличена, так и уменьшена). После показа работ оценка за экзамен становится окончательной. Участие в показе работ не является обязательным. Конкретные правила экзамена определяются отдельным документом, составляемым лектором вместе с преподавателями, ведущими семинарские занятия, и рассылаемым студентам по официальным канала связи в течение пяти дней после последнего семинарского занятия.

Промежуточная аттестация

2025/2026 2nd module
0.11 * Оценка за аудиторную работу в первом полугодии + 0.29 * Среднее оценок за мини-контрольные работы первого полугодия + 0.6 * Экзамен первого полугодия
2025/2026 4th module
0.11 * Оценка за аудиторную работу во втором полугодии + 0.29 * Среднее оценок за мини-контрольные работы второго полугодия + 0.6 * Экзамен второго полугодия

Список литературы

Авторы

Субочев Андрей Николаевич

Программа дисциплины