2025/2026
Функциональный интеграл: Стохастические процессы и основы квантовой механики
ID 1089742
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
1, 2 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Преподаватели:
Семенов Андрей Георгиевич
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
60
Программа дисциплины
Аннотация
"Одним из мощнейших методов современной теоретической физики является метод функционального интегрирования или, интегрирования по траекториям. Основы данного подхода были заложены Н. Винером ещё в начале XX века, однако наибольшую известность он получил после того, как Р. Фейнман применил данный подход в квантовой механике. В настоящее время функциональный интеграл нашел своё применение в теории случайных процессов, физике полимеров, квантовой и статистической механике и даже в финансовой математике. Несмотря на то, что в ряде случаев его применимость математически строго пока не доказана, данный метод позволяет с удивительным изяществом получать точные и приближённые
решения различных интересных задач. Курс посвящён основам данного подхода и его приложениям к теории случайных процессов и квантовой механике. В первой части курса на примере стохастических дифференциальных уравнений будут рассказаны основные идеи данного подхода, а так же различные способы точного и приближённого вычисления функциональных интегралов. Далее в рамках курса будут рассмотрены основные идеи квантовой механики, причем будет рассмотрен как операторный подход, так и подход с использованием функционального интегрирования. Будет продемонстрировано, что с точки зрения формализма описание случайных процессов и описание квантовомеханических систем весьма похоже. Это позволит сделать ряд интересных наблюдений, таких как, например, аналогию между суперсимметричной квантовой механикой и диффузией частицы во внешнем потенциале. В заключительной части курса, в зависимости от интересов аудитории, будет рассказано о различных применениях метода функционального интегрирования, таких как физика полимеров, финансовая математика и др. При наличии времени будет дан обзор более продвинутых сюжетов в данной области, в том числе, интегрирование по грассмановым переменным, вычисление функциональных детерминантов операторов и др."
Цель освоения дисциплины
- Формирование у обучающихся глубоких представлений о методах функционального интегрирования и интеграции по траекториям, широко используемых в современной теоретической физике и смежных областях науки. Обучающиеся освоят основы метода, начиная с исторических аспектов развития и фундаментальных идей, предложенных Н. Винером и развитых Р. Фейнманом, вплоть до современных приложений в теориях случайных процессов, полимерах, квантовой и статистической механике, включая финансовую математику
Планируемые результаты обучения
- На примере стохастических дифференциальных уравнений слушатели узнают основные идеи данного подхода, а также различные способы точного и приближённого вычисления функциональных интегралов, о различных применениях данного подхода, таких как физика полимеров, квантовая механика, финансовая математика и др.
Содержание учебной дисциплины
- Стохастические дифференциальные уравнения и случайные процессы
- Производящий функционал. Марковский и Гауссов случайные процессы
- Вероятность перехода и ее представление в виде функционального интеграла
- Вычисление простейших функциональных интегралов
- Броуновское движение и Винеровский интеграл
- Связь с уравнением Фоккера – Планка, исчислениями Ито и Стратоновича
- Гауссовы функциональные интегралы и теорема Гельфанда – Яглома
- Приближенное вычисление функционального интеграла
- Применение функционального интеграла в квантовой механике, физике полимеров и финансовой математике
- Дальнейшее развитие идей
Элементы контроля
- Домашняя контрольная работаПо всем домашним контрольным в семестре выставляется средняя оценка
- Экзамен
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Квантовая теория поля. Т.1. Общая теория - Вайнберг С. - Издательство "Физматлит" - 978-5-9221-1620-6 - 2015 - русский - https://e.lanbook.com/book/91164 - ЛАНЬ - 91164
Рекомендуемая дополнительная литература
- Локальные времена, симметричные интегралы и стохастический анализ - Насыров Ф.С. - Издательство "Физматлит" - 978-5-9221-1337-3 - 2011 - русский - https://e.lanbook.com/book/59749 - ЛАНЬ - 59749