Е8 и решетка Лича: системы корней и целочисленные квадратичные формы

2025/2026

Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 3, 4 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Гриценко Валерий Алексеевич

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 36

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Специальные целочисленные квадратичные решетки (или решетки корней) типов A, D, E и их группы отражений появляются во многих разделах математики: в арифметике, в теории алгебр Ли, в топологии и алгебраической геометрии, в теории автоморфных форм. В курсе мы изучим системы корней как целочисленные квадратичные решетки. Можно ли исследовать определитель целочисленной квадратичной формы как абелеву группу? Когда можно расширить целочисленную решетку? Что такое системы корней? Почему диаграммы Дынкина полезны в арифметике? Как строит унимодулярные или самодвойственные решетки? Это краткий перечень вопросов данного НИСа.

Цель освоения дисциплины

Изучение структуры и свойств специальных целочисленных квадратичных решёток (в частности, систем корней типов A, D, E), их роли в различных областях математики, а также освоение методов построения и анализа унимодулярных и самодвойственных решёток через призму арифметики, теории алгебр Ли и теории автоморфных форм.

Планируемые результаты обучения

формирование у слушателей глубокого понимания структуры и свойств целочисленных квадратичных решёток, систем корней и их приложений в арифметике, алгебре Ли, топологии и теории автоморфных форм, а также овладение методами построения и анализа унимодулярных и самодвойственных решёток с помощью диаграмм Дынкина.

Содержание учебной дисциплины

Целочисленные квадратичные решётки. Четные и нечетные решётки. Самая плотная упаковкаплоскости и трехмерного пространства.
Решетки корней типа A и D и их группа Вейля
Двойственная решётка и конечная дискриминантная группа.
Конечные квадратичные модули.
Расширение целочисленных квадратичных решеток. Общая теория и примеры.
Четные унимодулярные решётки. Расширение решеток типа А.
Решетки и коды.
Вектор Вейля системы корней, старший корень.
Классификация систем корней.
Различные конструкции решётки Лича.
Тета-функции квадратичных форм, экстремальные решётки.
Специальные решётки. Творческие проекты.

Элементы контроля

Практическая работа по курсу
Письменное решение задач
Индивидуальный творческий проект
Коллоквиум
Изучение литературы
В рамках курса предусмотрено изучение следующего перечня литературных источников: ∘ W. Ebeling «Lattice and Codes», 1994. ∘ Дж. Конвей, Н. Слоэн «Упаковки шаров, решётки и группы», Мир, 1990. ∘ Дж. Милнор, Д. Хьюзмоллер «Симметрические билинейные формы», Наука, 1986. ∘ R. L. Griess, Jr. «An introduction to Groups and Lattices. Finite group and positive definite rational lattices», 2011 Данный список включает как классические, так и современные монографии, охватывающие ключевые аспекты теории групп и алгебр Ли, теории решёток, а также их приложений в алгебраической геометрии, топологии и арифметике.

Промежуточная аттестация

2025/2026 4th module
0.4*Оценка за практическую работу по курсу (письменное решение задач)+0.4*Оценки за обязательную индивидуальные творческий проект по курсу + 0.2*Устный коллоквиум. Если индивидуальная работа оценена в 10 баллов, то устный коллоквиум не является необходимым.

Список литературы

Авторы

Гриценко Валерий Алексеевич

Программа дисциплины