Теоретические основы школьного курса математики 1

2025/2026

Статус: Маго-лего

Когда читается: 1, 2 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Язык: русский

Контактные часы: 60

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Курс предназначен специально для магистрантов, готовящихся стать учителями математики в специализированных учебных заведениях с углубленным изучением предмета. Программа направлена на глубокое погружение в ключевые разделы алгебры и теории чисел, формируя профессиональные компетенции преподавателей математики высокого уровня. Будущие учителя получат всестороннее представление о фундаментальных концепциях множествах, отображениях, отношениях эквивалентности, изучении делимости, аксиоматике целых чисел, комплексных числах, операциях с многочленами и методах решения уравнений высоких степеней. Отдельное внимание уделено вопросам истории математики, таким как неразрешимость классических геометрических задач античности. Программа курса разработана с целью обеспечить выпускников необходимыми знаниями и педагогическими компетенциями для успешного ведения занятий в классах с повышенной математической подготовкой школьников. Будущие преподаватели получают возможность детально разобраться в тонкостях преподаваемого материала, изучить эффективные подходы к обучению и воспитанию одарённых учеников.

Цель освоения дисциплины

Формирование представлений о связях между содержанием различных математических дисциплин и школьной программой
Ознакомление с возможным содержанием и принципами построения углублённых курсов для старшеклассников, направленных на освоение математических понятий и теорий, выходящих за рамки школьной программы
Формирование глубоких профессиональных знаний и компетентности в областях алгебры, теории чисел, необходимых будущим специалистам для успешной организации образовательного процесса и воспитания математически талантливых детей.

Планируемые результаты обучения

Закрепление компетенций по базовым математическим структурам, составляющим основы школьного курса математики
Изучение в более полном объёме математических фактов и понятий, частных или предельных случаев, которые подлежат изучению в рамках школьного курса
Умение определять и применять операции над множествами (объединение, пересечение, разность). Понимание принципов построения и анализа функций-отображений между множествами. Способность распознавать и формулировать отношения эквивалентности, применяя их для решения практических задач.
Освоение техники построения логически верных доказательств путём проверки начальных условий и индуктивного перехода. Развитие способности эффективно применять этот метод для решения широкого круга задач в математике и смежных областях. Формирование умения самостоятельно анализировать условия задачи и выбирать оптимальный путь её решения посредством математической индукции.
Понимание сути и области применения неравенства среднего арифметического и среднего геометрического. Навык самостоятельного доказательства и практического использования теоремы в различных типах задач. Способность уверенно оперировать терминами «среднее арифметическое», «среднее геометрическое» и грамотно применять их свойства.
Владение алгоритмом пошагового исключения переменных при решении систем линейных уравнений. Умение приводить расширенную матрицу системы к треугольному или ступенчатому виду. Применение метода Гаусса для решения задач.
Понимание зависимости частных решений неоднородной системы от общего решения однородной системы. Умение находить общее решение неоднородной системы, зная частное решение и общее решение однородной системы. Практические навыки выявления и анализа фундаментальных систем решений для однородных систем уравнений.
Понимание теоремы Кронекера—Капелли и критериев существования и единственности решений системы. Умение проверять совместимость и разрешимость системы линейных уравнений по ранжированию матриц. Формирование навыков анализа конкретных систем уравнений и определения характера их решений.
Усвоение понятия определителя квадратной матрицы и способов его вычисления для матриц небольших размерностей. Овладение правилами и приёмами быстрого вычисления определителей второго и третьего порядков. Применение знаний о определителях для анализа систем линейных уравнений на совместность и независимость.
Понимание принципа и алгоритма применения правила Крамера для решения систем линейных уравнений. Способность вычислять определители специальных форм и выражать искомые переменные через них. Навык самостоятельного решения систем уравнений методом Крамера и оценка целесообразности его использования в конкретной ситуации.
Понимание определителя как меры ориентированного объёма параллелепипеда, образованного векторами-столбцами матрицы. Интерпретация знака определителя как показателя ориентации пространства относительно начальной системы координат. Способность применять знание геометрического смысла определителя для анализа изменений объёмов при линейных преобразованиях.
Понимание основных свойств делимости и их приложений в теоретико-числовых задачах. Овладение алгоритмами нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК). Умение применять теорию делимости для решения задач на целочисленные представления и сравнения остатков.
Понимание концепции наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, умение находить их различными способами. Овладение алгоритмом Евклида и методом разложения на простые множители для вычисления НОД и НОК. Способность применять полученные знания при решении задач, связанных с делимостью и сравнением чисел.
Понимание уникальности разложения любого целого числа на произведение простых множителей. Овладение навыками разложения чисел на простые множители и использование полученного результата в задачах. Формирование ясного представления о структуре натуральных чисел и основах теории делимости.
Освоение основных законов и свойств арифметических действий над классами вычетов. Умение проводить расчеты и сравнивать числа по модулю, выявляя общие признаки и закономерности. Применять знания о классах вычетов для решения задач, связанных с периодическими явлениями и проверкой делимости.
Понимание формулировки и условий применимости малой теоремы Ферма. Овладение техникой вычисления степеней больших чисел по модулю простым числом. Умение применять теорему для решения задач, связанных с проверкой простоты чисел.
Понимание идеи и механизма работы алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя (НОД). Овладение навыком пошагового применения алгоритма вручную и с использованием калькулятора. Умение использовать обобщенный алгоритм Евклида для нахождения линейного представления НОД и решения диофантовых уравнений первой степени.
Понимание сущности и особенностей линейных диофантовых уравнений. Овладение методами решения уравнений с одним и несколькими неизвестными, включая применение алгоритма Евклида. Способность самостоятельно решать задачи на нахождение решений линейных диофантовых уравнений и их систем.
Понимание понятия пифагоровых троек и исторического контекста их появления. Овладение методами генерации и анализа пифагоровых троек с использованием соответствующих формул. Способность применять пифагоровы тройки для решения геометрических и алгебраических задач, связанных с прямоугольными треугольниками и уравнениями.
Понимание понятия комплексного числа, различие между действительными и мнимыми частями. Овладение основными арифметическими операциями с комплексными числами (сложение, вычитание, умножение, деление). Умение представлять комплексные числа графически на комплексной плоскости, вычислять модуль и аргумент числа. Способность применять комплексные числа для решения алгебраических уравнений.
Освоение понятий модуля и комплексного сопряжения, умение вычислять модуль и находить сопряжённое число. Понимание геометрического смысла модуля как расстояния на комплексной плоскости. Овладение ключевыми свойствами модуля и сопряжения. Способность применять полученные знания для решения практических задач и доказательств в алгебре и геометрии.
Освоение понятия комплексного числа и способов его представления в алгебраической и тригонометрической формах. Овладение правилами выполнения арифметических операций с комплексными числами, включая операцию умножения и понимание её геометрического смысла. Формирование умения применять полученные знания для решения уравнений и задач, связанных с комплексными числами.
Усвоение правила возведения комплексного числа в натуральную степень с использованием формулы Муавра. Овладение техникой извлечения корней произвольной натуральной степени из комплексного числа. Формирование умения применять полученные знания для решения задач на возведение в степень и извлечение корней из комплексных чисел.
Усвоение уравнений окружности и прямой на комплексной плоскости. Овладение приёмами определения взаимного расположения точек, окружностей и прямых на комплексной плоскости. Формирование умения решать практические задачи, связанные с геометрическими фигурами на комплексной плоскости.
Усвоение понятий простого и двойного отношения четырех точек на комплексной плоскости. Овладение свойствами сохранения простого и двойного отношения при конформных отображениях. Формирование умения применять указанные соотношения для решения задач на расположение точек и преобразование фигур на комплексной плоскости.
Усвоение понятий преобразований подобия и линейных преобразований на комплексной плоскости. Овладение способами описания указанных преобразований и их влиянием на геометрию плоских фигур. Формирование умения применять преобразования подобия и линейные преобразования для решения геометрических задач на комплексной плоскости.
Усвоение определения многочлена от одной переменной и базовых свойств многочленов. Овладение навыками выполнения арифметических операций (сложение, вычитание, умножение) над многочленами. Установление взаимосвязи между коэффициентами многочлена и его характеристиками (степенью, нулями).
Усвоение понятия деления многочленов с остатком и соответствующей теоремы. Овладение алгоритмом Евклида для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) многочленов. Формирование умения применять деление с остатком и находить НОД многочленов при решении зада
Формулировка и доказательство теоремы Безу, устанавливающей связь между делимостью многочлена и значениями в точках. Использование теоремы Безу для проверки делимости многочленов и нахождения остатков при делении. Примеры применения теоремы Безу для решения задач на проверку делимости и нахождение корней многочленов.
Усвоение схемы Горнера как инструмента для быстрых вычислений значений многочленов и их производных. Овладение алгоритмом применения схемы Горнера для сокращения количества операций при работе с многочленами. Формирование способности эффективно использовать схему Горнера для вычисления значений многочленов и исследования их корней.
Усвоение понятия кратности корня многочлена и его геометрического смысла. Овладение методами распознавания кратных корней и их роли в поведении многочлена. Формирование умения исследовать особенности многочленов на основе знания о кратности корней.
Усвоение алгебраического определения дифференцирования многочленов. Овладение общими формулами для вычисления производных многочленов. Формирование навыков практического применения алгебраического подхода к дифференцированию многочленов.
Усвоение формулы Тейлора для представления многочленов вблизи определённой точки. Овладение структурой разложения многочлена по формуле Тейлора и порядком членов разложения. Формирование навыков практического применения формулы Тейлора для аппроксимации функций и анализа локальных особенностей многочленов.
Усвоение способа выражения кратности корня многочлена через значения его производных. Овладение критериями кратности корня и методами их применения. Формирование умения определять кратность корней и анализировать поведение многочленов на основе полученной информации.
Усвоение теорем, дающих оценку количества корней многочлена (теорема Безу, основная теорема алгебры). Овладение методами оценки числа вещественных и комплексных корней многочленов. Формирование навыков применения полученных знаний для подсчета и анализа распределения корней многочленов.
Усвоение формул Виета, связывающих коэффициенты многочлена с его корнями. Овладение частными случаями формул Виета для квадратных и кубических уравнений. Формирование навыков применения формул Виета для анализа корней многочленов и решения задач на выявление зависимостей между корнями и коэффициентами.
Усвоение понятия наибольшего общего делителя (НОД) для многочленов и постановки задачи нахождения НОД. Овладение алгоритмом Евклида для нахождения НОД многочленов. Формирование навыков практического применения алгоритма Евклида для решения задач на нахождение НОД различных пар многочленов.
Усвоение понятия взаимно простых многочленов и их ключевых свойств. Овладение определением неприводимого многочлена и условиями его неразложимости. Формирование умения доказывать и применять теорему о разложении многочлена на неприводимые множители.
Усвоение формулировки и идеи доказательства основной теоремы алгебры. Овладение следствием основной теоремы алгебры о числе корней многочлена с учётом кратности. Формирование умения использовать основную теорему алгебры для обоснования разложения многочленов на линейные множители.
Усвоение постановки задачи о нахождении числа комплексных корней многочлена в круге вокруг нуля. Овладение принципом аргумента и теоремой Руше для оценки числа корней. Формирование навыков практического применения этих инструментов для определения количества корней в круге на комплексной плоскости.
Усвоение правила знаков Декарта и его влияние на количество положительных действительных корней многочлена. Овладение обобщённым вариантом правила знаков для оценки числа отрицательных корней. Формирование умения применять правило знаков Декарта для практической оценки числа действительных корней многочленов с действительными коэффициентами.
Усвоение понятия рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами и знание условий их появления. Овладение теоремой о рациональных корнях и навыками подбора кандидатов на роль рациональных корней. Формирование умения проверять наличие рациональных корней и эффективно искать такие корни среди предложенных кандидатур.
Усвоение основных понятий и обозначений, относящихся к многочленам от нескольких переменных. Овладение терминологией и навыками работы с мономами и однородными компонентами многочленов. Формирование представлений о полном порядке многочленов, старших членах и способах сравнения многочленов.
Усвоение понятия симметрического многочлена и приобретение опыта работы с такими многочленами. Овладение знаниями об элементарных симметрических многочленах и их особенностях. Формирование умения выражать симметрические многочлены через элементарные симметрические многочлены на основании соответствующей теоремы.
Усвоение понятия дискриминанта нормированного многочлена и понимание его роли в исследовании корней. Овладение формулой для дискриминанта неполного нормированного многочлена третьей степени и способность анализировать характер корней на её основе. Формирование умения использовать дискриминант для предварительной характеристики корней многочленов и выработки выводов о наличии кратных, действительных и комплексных корней.
Усвоение постановки задачи решения уравнений третьей степени и истории открытия формулы Кардано. Овладение формулой Кардано и способностью приводить уравнение к стандартной форме для последующего решения. Формирование навыков самостоятельного применения формулы Кардано для нахождения корней уравнений третьей степени.
Усвоение постановки задачи решения уравнений четвёртой степени и ознакомления с историческим развитием подходов к её решению. Овладение методом Феррари, позволяющим свести уравнение четвёртой степени к более простым уравнениям третьей и второй степеней. Формирование навыков применения метода Феррари для практического решения уравнений четвёртой степени.
Усвоение исторических предпосылок возникновения классических проблем древности и понимание сути задач на трисекцию угла, удвоение куба и построение правильного семиугольника. Овладение современными методами доказательств невозможности решения указанных задач с помощью циркуля и линейки. Формирование осознанного восприятия границ возможностей классической конструктивной геометрии и понимания исторической значимости открытий в области разрешимости геометрических задач.

Содержание учебной дисциплины

1. Множества, отображения, отношения эквивалентности.
2. Метод математической индукции.
3. Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом.
4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
5. Связь между решениями неоднородной системы и ассоциированной с ней однородной системы.
6. Условие определенности неоднородной системы.
7. Определители. Формулы для определителей второго и третьего порядка.
8. Правило Крамера.
9. Геометрический смысл определителя.
10. Свойства отношения делимости целых чисел.
11. НОД и НОК.
12. Основная теорема арифметики.
13. Свойства арифметики вычетов.
14. Малая теорема Ферма.
15. Алгоритм Евклида.
16. Линейные диофантовы уравнения.
17. Пифагоровы тройки.
18. Комплексные числа и свойства арифметических операций с ними.
19. Модуль и комплексное сопряжение, их свойства.
20. Геометрический смысл умножения комплексных чисел.
21. Формула Муавра. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа.
22. Уравнение окружности и уравнение прямой на комплексной плоскости.
23. Простое и двойное отношение.
24. Преобразования подобия и линейные преобразования комплексной плоскости.
25. Многочлены от одной переменной: определение и свойства арифметических операций.
26. Деление многочленов с остатком.
27. Теорема Безу.
28. Схема Горнера.
29. Кратность корня многочлена.
30. Дифференцирование многочленов (алгебраическое определение).
31. Формула Тейлора для многочленов.
32. Выражение кратности корня через значения производных.
33. Оценка числа корней многочлена.
34. Формулы Виета.
35. Наибольший общий делитель многочленов, алгоритм Евклида для многочленов.
36. Свойства взаимно простых многочленов. Неприводимые многочлены. Теорема о разложении на неприводимые сомножители.
37. Основная теорема алгебры.
38. Число комплексных корней многочлена в круге с центром в нуле комплексной плоскости.
39. Правило знаков Декарта для числа действительных корней многочлена с действительными коэффициентами.
40. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами
41. Многочлены от нескольких переменных: моном, однородные компоненты, степень и старший член многочлена.
42. Симметрические многочлены. Теорема о представлении симметрического многочлена в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.
43. Дискриминант нормированного многочлена. Формула для дискриминанта неполного нормированного многочлена третьей степени.
44. Формула Кардано для решения уравнений третьей степени.
45. Сведение уравнения четвертой степени к одному уравнению третьей степени и двум квадратным.
46. Неразрешимость классических геометрических задач на построение: трисекции угла, удвоения куба, построения правильного семиугольника.

Элементы контроля

Индивидуальное домашнее задание
Экзамен
коллоквиум
Письменный коллоквиум

Промежуточная аттестация

2025/2026 2nd module
Если экзамен >= 4, то (ср. арифм. 6 индивидуальных домашних заданий)*0.4 + коллоквиум*0,1+экзамен*0.5 Если экзамен < 4, то min (5, (ср. арифм. 6 индивидуальных домашних заданий)*0.4 + коллоквиум*0,1+экзамен*0.5)

Список литературы

Авторы

Иконописцева Юлия Вахтанговна
Штерн Александр Савельевич

Программа дисциплины