2025/2026
Введение в симплектическую топологию
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
3, 4 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Преподаватели:
Буряк Александр Юрьевич
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
72
Программа дисциплины
Аннотация
Симплектическая топология занимается изучением глобальных явлений симплектической геометрии. Согласно теореме Дарбу, локальная структура симплектического многообразия всегда эквивалентна стандартной симплектической структуре евклидова пространства, то есть в симплектической геометрии не существует локальных инвариантов. Этим она сильно отличается от римановой геометрии, где кривизна порождает такие локальные инварианты. Естественные примеры симплектоморфизмов возникают при изучении гамильтоновых дифференциальных уравнений. Более того, изучение симплектических структур в значительной степени мотивировано задачами классической механики. В этом контексте пример локального поведения системы даёт пример близкого к тождественному симплектоморфизма. Предметом симплектической топологии является глобальная структура симплектических многообразий и поведение симплектоморфизмов, далеких от тождественного. Эти вопросы интересны как для евклидова пространства со стандартной линейной симплектической структурой, так и для общих симплектических многообразий.
Цель освоения дисциплины
- Освоить основные понятия симплектической геометрии. Изучить доказательство теоремы Дарбу. Исследовать основные примеры гамильтоновых систем, изучить доказательство теоремы Арнольда-Лиувилля. Освоить основные понятия контактной геометрии. Изучить связь с комплексными многообразиями. Изучить симплектическую редукцию. Изучить доказательство теоремы о верблюде.
Планируемые результаты обучения
- Освоить основные понятия симплектической геометрии, гамильтоновой механики, связь с комплексными многообразиями, симплектическую редукцию и элементы симплектической топологии
Содержание учебной дисциплины
- гамильтонова механика и симплектическая топология евклидова пространства
- Линейная симплектическая геометрия
- Симплектические многообразия
- Почти комплексные структуры
- Симплектическое действие групп
- Симплектические расслоения
- Построение симплектических многообразий
Промежуточная аттестация
- 2025/2026 4th moduleИтоговая оценка = (оценка за КР1)*0.2+(оценка за КР2)*0.2+(средняя оценка за ДЗ)*0.2+(оценка за экзамен)*0.5 (если результат больше 10, то итоговая оценка 10)
